Topologia di sottospazio

In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione

Se Y {\displaystyle Y} è un sottoinsieme di uno spazio topologico X {\displaystyle X} , la topologia indotta su Y {\displaystyle Y} dalla topologia su X {\displaystyle X} è la seguente: un sottoinsieme U {\displaystyle U} di Y {\displaystyle Y} è aperto se e solo se esiste un aperto V {\displaystyle V} di X {\displaystyle X} tale che V ∩ Y = U {\displaystyle V\cap Y=U} . In altre parole, gli aperti di Y {\displaystyle Y} sono le intersezioni degli aperti di X {\displaystyle X} (cioè gli aperti V {\displaystyle V} ) con Y {\displaystyle Y} .[1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di Y {\displaystyle Y} in X {\displaystyle X} .

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, Y {\displaystyle Y} si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di X {\displaystyle X} , mentre X {\displaystyle X} si dice spazio ambiente.

Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.
Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.

Alternativamente, si può definire la topologia su Y {\displaystyle Y} in uno dei modi seguenti:

  • La topologia su Y {\displaystyle Y} è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione i : Y → X {\displaystyle i\colon Y\to X} continua.
  • La topologia su Y {\displaystyle Y} è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico Z {\displaystyle Z} una applicazione f : Z → Y {\displaystyle f\colon Z\to Y} è continua se e solo se lo è la sua composizione i ∘ f : Z → X {\displaystyle i\circ f\colon Z\to X} con l'inclusione i : Y → X {\displaystyle i\colon Y\to X} .

Esempi

  • I numeri interi Z {\displaystyle \mathbb {Z} } vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R {\displaystyle \mathbb {R} } . Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.
  • Anche i numeri razionali Q {\displaystyle \mathbb {Q} } vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R {\displaystyle \mathbb {R} } , ma questa non è discreta.
  • Consideriamo l'intervallo I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} con la topologia indotta da R {\displaystyle \mathbb {R} } . Il sottoinsieme ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} è aperto in I {\displaystyle I} ma non in R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Proprietà

  • Intersecando tutti gli aperti di una base di X {\displaystyle X} con Y {\displaystyle Y} si ottiene una base per Y {\displaystyle Y} .
  • Se X {\displaystyle X} è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad Y {\displaystyle Y} induce la topologia del sottoinsieme.
  • Se X {\displaystyle X} è compatto e Y {\displaystyle Y} è chiuso allora Y {\displaystyle Y} è anch'esso compatto.
  • Se X {\displaystyle X} è di Hausdorff allora anche Y {\displaystyle Y} lo è.
  • Gli insiemi chiusi di Y {\displaystyle Y} sono le intersezioni di Y {\displaystyle Y} con gli insiemi chiusi di X {\displaystyle X} .

Note

  1. ^ E. Sernesi, p. 42.
  2. ^ C. Kosniowski,  p. 23.

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.

Voci correlate

  • La topologia quoziente.
  • La topologia prodotto.


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