Teorema di unicità del sollevamento

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Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

Enunciato del teorema

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se Y {\displaystyle Y} è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

p : E → X {\displaystyle p:E\to X\,\!}

ed una funzione continua

f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X\,\!}

definita su uno spazio connesso Y {\displaystyle Y} . Siano inoltre

g : Y → E , h : Y → E {\displaystyle g:Y\to E,\quad h:Y\to E}

due sollevamenti della f {\displaystyle f} . Se esiste y 0 {\displaystyle y_{0}} in Y {\displaystyle Y} tale che g ( y 0 ) = h ( y 0 ) {\displaystyle g(y_{0})=h(y_{0})} allora g ( y ) = h ( y ) {\displaystyle g(y)=h(y)} per ogni y {\displaystyle y} in Y {\displaystyle Y} .

Dimostrazione

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

A = { y ∈ Y   |   g ( y ) = h ( y ) } {\displaystyle A=\{y\in Y\ |\ g(y)=h(y)\}}

Per ipotesi, y 0 {\displaystyle y_{0}} è un elemento di A {\displaystyle A} . Mostriamo che A {\displaystyle A} ed il suo complementare Y ∖ A {\displaystyle Y\setminus A} sono entrambi aperti: poiché Y {\displaystyle Y} è connesso, seguirà che A = Y {\displaystyle A=Y} , e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato y {\displaystyle y} in Y {\displaystyle Y} , sia V {\displaystyle V} un aperto connesso uniformemente rivestito di X {\displaystyle X} contenente f ( y ) {\displaystyle f(y)} . Siano U g , U h {\displaystyle U_{g},U_{h}} le componenti connesse in p − 1 ( V ) {\displaystyle p^{-1}(V)} contenenti rispettivamente g ( y ) {\displaystyle g(y)} e h ( y ) {\displaystyle h(y)} . Consideriamo l'aperto di Y {\displaystyle Y} :

W = g − 1 ( U g ) ∩ h − 1 U h . {\displaystyle W=g^{-1}(U_{g})\cap h^{-1}U_{h}.}

Se y {\displaystyle y} appartiene ad A {\displaystyle A} , allora g ( y ) = h ( y ) {\displaystyle g(y)=h(y)} e quindi U g = U h {\displaystyle U_{g}=U_{h}} , e siccome la restrizione di p {\displaystyle p} all'aperto U g = U h {\displaystyle U_{g}=U_{h}} è iniettiva segue che g ( w ) = h ( w ) {\displaystyle g(w)=h(w)} per ogni w {\displaystyle w} in W {\displaystyle W} , e quindi W {\displaystyle W} è interamente contenuto in A {\displaystyle A} . Questo prova che A {\displaystyle A} è aperto.

Se y {\displaystyle y} non appartiene ad A {\displaystyle A} allora U g {\displaystyle U_{g}} e U h {\displaystyle U_{h}} sono disgiunti, e quindi lo sono anche W {\displaystyle W} ed A {\displaystyle A} : questo prova che il complementare di A {\displaystyle A} è aperto.

Generalizzazioni

Il teorema è valido anche se p : E → X {\displaystyle p:E\to X} è solo un omeomorfismo locale.

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