Corpo con manici

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Un corpo orientabile con 3 manici. Tagliando lungo i tre dischi bidimensionali disegnati in alto si ottiene un disco tridimensionale. Tagliando lungo uno dei dischi sottostanti si ottiene invece una varietà sconnessa.

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

Definizione

Un corpo con tre manici

Un corpo con k {\displaystyle k} manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

  • una 3-varietà con bordo M {\displaystyle M} contenente k {\displaystyle k} dischi disgiunti propriamente immersi D 1 , … , D k {\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{k}} tali che la varietà ottenuta tagliando M {\displaystyle M} lungo questi è omeomorfa al disco
D = { x ∈ R 3   |   | x | ≤ 1 } . {\displaystyle D=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}
  • la 3-varietà con bordo M {\displaystyle M} ottenuta scegliendo nel bordo ∂ D {\displaystyle \partial D} del disco 2 k {\displaystyle 2k} dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
  • la somma connessa al bordo di k {\displaystyle k} oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero k {\displaystyle k} è il genere del corpo con manici.

Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

  • Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
  • Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
  • Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

Proprietà

Un corpo con manici di genere 2 è la somma connessa al bordo di due tori solidi.

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere k {\displaystyle k} è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere k {\displaystyle k} . Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere 2 k {\displaystyle 2k} .

Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere k {\displaystyle k} è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è 1 − k {\displaystyle 1-k} .

Voci correlate

  • Toro (geometria)
  • Somma connessa

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Corpo con manici, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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