Teorema del sollevamento dell'omotopia

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Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.

Definizione di sollevamento

Sia p : E → X {\displaystyle p:E\to X} un rivestimento e f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di f {\displaystyle f} è una applicazione continua g : Y → E {\displaystyle g:Y\to E} tale che:

f = p ∘ g . {\displaystyle f=p\circ g.}

Enunciato del teorema

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

p : E → X {\displaystyle p:E\to X\,\!}

e due applicazioni continue

a : I → E , F : I 2 → X {\displaystyle a:I\to E,\quad F:I^{2}\to X}

definite sull'intervallo I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} e sul quadrato I 2 {\displaystyle I^{2}} , tali che p ( a ( t ) ) = F ( t , 0 ) {\displaystyle p(a(t))=F(t,0)} per ogni t {\displaystyle t} .

Allora esiste, ed è unico, un sollevamento

G : I 2 → E {\displaystyle G:I^{2}\to E\,\!}

di F {\displaystyle F} tale che G ( t , 0 ) = a ( t ) {\displaystyle G(t,0)=a(t)} per ogni t {\displaystyle t} .

Dimostrazione

Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di I 2 {\displaystyle I^{2}} e dal teorema di unicità del sollevamento.

La costruzione del sollevamento G {\displaystyle G} è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di I 2 {\displaystyle I^{2}} . Grazie alla compattezza esiste un N > 0 {\displaystyle N>0} tale che ogni quadratino

Q i , j = [ i N , i + 1 N ] × [ j N , j + 1 N ] {\displaystyle Q_{i,j}=\left[{\frac {i}{N}},{\frac {i+1}{N}}\right]\times \left[{\frac {j}{N}},{\frac {j+1}{N}}\right]}

contenuto in I 2 {\displaystyle I^{2}} (quindi con i < N , j < M {\displaystyle i<N,j<M} ) ha immagine F ( Q i , j ) {\displaystyle F(Q_{i,j})} contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione F {\displaystyle F} , ristretta al quadratino Q i , j {\displaystyle Q_{i,j}} , ammette un sollevamento. I quadratini Q i , j {\displaystyle Q_{i,j}} ricoprono il quadrato I 2 {\displaystyle I^{2}} : grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento G {\displaystyle G} con le proprietà richieste.

Corollario

Siano p : E → X {\displaystyle p:E\to X} un rivestimento e f : S 2 → X {\displaystyle f:S^{2}\to X} un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ S2, e ∈ p−1(f(y)) esiste un unico sollevamento g : S2 → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.

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