Quotiëntenlichaam

Een quotiëntenlichaam of breukenlichaam is in de wiskunde het lichaam dat wordt gemaakt uit een integriteitsgebied ${\displaystyle R}$ en dat uit elementen bestaat die kunnen worden opgevat als breuken van elementen uit ${\displaystyle R}$. Een belangrijk voorbeeld is het lichaam ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ van de rationale getallen, als quotiëntenlichaam van het integriteitsgebied ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ van de gehele getallen.

Constructie

Zij ${\displaystyle R}$ een integriteitsgebied. Men construeert zijn quotiëntenlichaam als volgt. Beschouw eerst het cartesische product

${\displaystyle {\overline {R}}=R\times \left(R\setminus \{0\}\right)=\left\{(r,s)\in R\times R:s\neq 0\right\}}$

Op ${\displaystyle {\overline {R}}}$ beschouwen we de volgende relatie ${\displaystyle \sim }$:

${\displaystyle (r,s)\sim (u,v)\Leftrightarrow r\cdot v=s\cdot u}$

Dit is een equivalentierelatie. De onderliggende verzameling van het quotiëntenlichaam bestaat uit de equivalentieklassen van deze equivalentierelatie en wordt als ${\displaystyle Q(R)}$ genoteerd.

Een optelling en een vermenigvuldiging in ${\displaystyle Q(R)}$ laten zich als volgt definiëren:

${\displaystyle (r,s)+(u,v)=(r\cdot v+s\cdot u,s\cdot v)}$

${\displaystyle (r,s)\cdot (u,v)=(r\cdot u,s\cdot v)}$

De equivalentieklasse van het koppel ${\displaystyle (r,s)}$ wordt meestal genoteerd als de breuk ${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$, of ${\displaystyle r/s}$, of als ${\displaystyle rs^{-1}}$. Men noemt ${\displaystyle r}$ de teller en ${\displaystyle s}$ de noemer van de breuk.

Voorbeelden

• Zoals hierboven aangegeven zijn de rationale getallen de breuken waarvan de tellers en noemers gehele getallen zijn.
• Ieder lichaam is een integriteitsgebied, en is gelijk aan zijn eigen breukenlichaam.
• De polynomen in een variabele met coëfficiënten in een gegeven lichaam ${\displaystyle K}$ vormen een integriteitsgebied ${\displaystyle K[X]}$. Het breukenlichaam bestaat uit de veeltermbreuken of rationale functies en wordt met ${\displaystyle K(X)}$ genoteerd.
• De analytische functies op een open deelverzameling der complexe getallen vormen een integriteitsgebied. Het quotiëntenlichaam bestaat uit de meromorfe functies.

Inbedding van een integriteitsgebied in zijn quotiëntenlichaam

De functie die elk oorspronkelijk ringelement ${\displaystyle r}$ afbeeldt op de breuk ${\displaystyle r/1}$ is een ringhomomorfisme van ${\displaystyle R}$ naar ${\displaystyle Q(R)}$. Dit homomorfisme is injectief, dus ${\displaystyle R}$ is isomorf met een deelring van ${\displaystyle Q(R)}$.

Het quotiëntenlichaam is het kleinste lichaam dat ${\displaystyle R}$ omvat, in de zin dat ieder lichaam dat ${\displaystyle R}$ omvat, een deellichaam heeft dat isomorf is met ${\displaystyle Q(R)}$.

Lokalisatie

Bovenstaande constructie kan nog op twee manieren verder veralgemeend worden. Enerzijds laat men de eis vallen dat ${\displaystyle R}$ een domein is, dus ${\displaystyle R}$ is een willekeurige commutatieve ring met eenheidselement. Anderzijds neemt men als noemerverzameling niet noodzakelijk ${\displaystyle R_{0}}$, maar een willekeurige deelverzameling${\displaystyle S}$ van ${\displaystyle R}$ die multiplicatief gesloten is, dat wil zeggen dat het product van twee willekeurige elementen van ${\displaystyle S}$ opnieuw in ${\displaystyle S}$ ligt.

We definiëren als volgt een equivalentierelatie ${\displaystyle \sim }$ op de cartesisch product ${\displaystyle R\times S}$:

${\displaystyle (r,s)\sim (u,v)\Leftrightarrow \exists x\in S:x\cdot (r\cdot v-s\cdot u)=0}$

Het rechterlid is een beetje ingewikkelder dan hierboven omdat ${\displaystyle R}$ niet noodzakelijk nuldelervrij is. Als we de oorspronkelijke definitie zouden handhaven, dan is de transitiviteit van de relatie niet langer gegarandeerd.

De verzameling der equivalentieklassen wordt breukenring of lokalisatie van ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle S}$ genoemd, en genoteerd ${\displaystyle R_{S}}$ of ${\displaystyle RS^{-1}}$

Voorbeeld

Als ${\displaystyle p}$ een priemideaal is van ${\displaystyle R}$, dan is de complementverzameling ${\displaystyle R-p}$ multiplicatief gesloten. Men spreekt van de lokalisatie van ${\displaystyle R}$ in het priemideaal ${\displaystyle p}$ en wordt, enigszins inconsequent, genoteerd met ${\displaystyle R_{p}}$. Deze ring bestaat uit breuken waarvan de noemer niet in ${\displaystyle p}$ ligt. Het is een lokale ring, wat de benaming lokalisatie verantwoordt. Zijn uniek maximaal ideaal bestaat uit de veelvouden van elementen van ${\displaystyle p}$, strikt genomen: van de breuken waarvan de teller een veelvoud is van ${\displaystyle p}$, en de noemer niet.

Het quotiëntenlichaam van een domein is hiervan een bijzonder geval, dat ontstaat door naar het priemideaal {0} te kijken.

Inbedding

De hierboven gedefinieerde afbeelding die ${\displaystyle r}$ op ${\displaystyle r/1}$ afbeeldt, is nog steeds een homomorfisme van ringen. Ze is evenwel alleen injectief als ${\displaystyle R}$ een integriteitsgebied is.