Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij f {\displaystyle f} een functie

f : R n → R m , {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}

(dus een functie die n {\displaystyle n} invoerwaarden nodig heeft en m {\displaystyle m} waarden teruggeeft), met

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , x 2 , … , x n ) , … , f m ( x 1 , x 2 , … , x n ) ) , {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})),}

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix J ( f ) {\displaystyle J(f)} van f {\displaystyle f} als volgt gedefinieerd:

J ( f ) = ∂ ( f 1 , ⋯ , f m ) ∂ ( x 1 , ⋯ , x n ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ∂ f m ∂ x 2 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle J(f)={\frac {\partial (f_{1},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\cdots ,x_{n})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}

Jacobiaan

In het geval dat m = n {\displaystyle m=n} , dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt onder andere naar voren bij het transformeren van integralen in meer dimensies (zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten).

De naam verwijst naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, die in zijn loopbaan heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van het begrip 'determinant'.

Gradiënt

Als m = 1 {\displaystyle m=1} (dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft), wordt de jacobi-matrix meestal gradiënt van f {\displaystyle f} (notatie: ∇ f {\displaystyle \nabla f} ) genoemd.

Inverse

Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} in het punt x 0 ∈ R n {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} continu en niet-singulier is, dan is f {\displaystyle f} lokaal inverteerbaar in een omgeving van x 0 {\displaystyle x_{0}} , en er geldt

( J f − 1 ) ( f ( x 0 ) ) = [ ( J f ) ( x 0 ) ] − 1 {\displaystyle (J_{f^{-1}})(f(x_{0}))=[(J_{f})(x_{0})]^{-1}}

De Jacobiaan kan dus gebruikt worden om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm f ( x ) = b {\displaystyle f(x)=b} een oplossing heeft. Als J ( f ) ( x ) {\displaystyle J(f)(x)} regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal f {\displaystyle f} lokaal inverteerbaar zijn in x {\displaystyle x} en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

Opmerking

De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van ∂ f i / ∂ x j {\displaystyle {\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}} is die van f i {\displaystyle f_{i}} gedeeld door die van x j {\displaystyle x_{j}} , en kan daardoor van i {\displaystyle i} en j {\displaystyle j} afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.