Arcsinus

De arcsinus, ook boogsinus, aangeduid door ${\displaystyle \mathrm {asin} ,\arcsin ,\mathrm {bgsin} }$^[1] of ${\displaystyle \sin ^{-1}}$,^[2] is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de sinus indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen ${\displaystyle -\pi /2}$ en ${\displaystyle \pi /2}$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is ${\displaystyle [-1,1]}$ en het bereik is ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$.

De grafiek van ${\displaystyle y=\arcsin x}$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte sinus ten opzichte van de lijn ${\displaystyle y=x}$.

Definitie

De functie ${\displaystyle \arcsin }$ is gedefinieerd voor ${\displaystyle x\in [-1,1]}$ door de relatie

${\displaystyle \arcsin(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi ]{\mbox{ en }}\sin(\alpha )=x}$

In woorden: de hoek of boog waarvan de sinus ${\displaystyle x}$ is, is gelijk aan ${\displaystyle \alpha }$.

Machtreeks

De arcsinus heeft de reeksontwikkeling:

${\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n}}$

Daarin is ${\displaystyle \Gamma }$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arcsinus is:

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

voor ${\displaystyle x\in (-1,1)}$.