Processo de Cauchy

Em teoria da probabilidade, um processo de Cauchy é um tipo de processo estocástico. Há formas simétricas e assimétricas do processo de Cauchy.^[1] O termo "processo de Cauchy" não especificado é frequentemente usado para fazer referência ao processo de Cauchy simétrico^[2]

O processo de Cauchy tem certas propriedades:

1. É um processo de Lévy;^[3][4][5]
2. É um processo estável;^[1][2]
3. É um processo de saltos puros;^[6]
4. Seus momentos são infinitos.

Processo de Cauchy simétrico

O processo de Cauchy simétrico pode ser descrito por um movimento browniano ou processo de Wiener sujeito ao subordinador de Lévy.^[7] O subordinador de Lévy é um processo associado a uma distribuição de Lévy, tendo parâmetro de localização ${\displaystyle 0}$ e parâmetro de escala ${\displaystyle t^{2}/2}$.^[7] A distribuição de Lévy é um caso especial de distribuição gama inversa. Então, usando ${\displaystyle C}$ para representar o processo de Cauchy e ${\displaystyle L}$ para representar o subordinador de Lévy, o processo de Cauchy simétrico pode ser descrito como:

${\displaystyle C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).}$

A distribuição de Lévy é a probabilidade do primeiro tempo de chegada para um movimento browniano. Logo, o processo de Cauchy é na essência o resultado de dois processos de movimento browniano independentes.^[7]

A representação de Lévy-Khintchine para o processo de Cauchy simétrico é um triplo com deriva zero e difusão zero, o que resulta em um triplo de Lévy-Khintchine de ${\displaystyle (0,0,W)}$, em que ${\displaystyle W(dx)=dx/(\pi x^{2})}$.^[8]

A função característica marginal do processo de Cauchy simétrico tem a forma:^[1][8]

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.}$

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy simétrico é a distribuição de Cauchy cuja densidade é^[8][9]

${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].}$

Processo de Cauchy assimétrico

O processo de Cauchy assimétrico é definido nos termos de um parâmetro ${\displaystyle \beta }$. Aqui, ${\displaystyle \beta }$ é o parâmetro de obliquidade e seu valor absoluto deve ser menor ou igual a ${\displaystyle 1}$.^[1] No caso em que ${\displaystyle |\beta |=1}$, o processo é considerado um processo de Cauchy completamente assimétrico. ^[1]

O triplo de Lévy-Khintchine tem a forma ${\displaystyle (0,0,W)}$, em que ${\displaystyle W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$, em que ${\displaystyle A\neq B}$, ${\displaystyle A>0}$ e ${\displaystyle B>0}$.^[1]

Isto posto, ${\displaystyle \beta }$ é uma função de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

A função característica da distribuição de Cauchy assimétrica tem a forma:^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.}$

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy é uma distribuição estável com índice de estabilidade igual a ${\displaystyle 1}$.

Referências

• Portal de probabilidade e estatística