Integral de Skorokhod

Em matemática, a integral de Skorokhod, frequentemente denotada como ${\displaystyle \delta }$, é um operador de grande importância na teoria dos processos estocásticos.^[1] Recebe este nome em homenagem ao matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod. Parte da sua importância deriva do fato de que unifica vários conceitos:

• ${\displaystyle \delta }$ é uma extensão da integral de Itō a processos não adaptados;
• ${\displaystyle \delta }$ é o adjunto da derivada de Malliavin, que é fundamental para o cálculo estocástico de variações (cálculo de Malliavin);
• ${\displaystyle \delta }$ é uma generalização de dimensões infinitas do operador de divergência a partir do cálculo vetorial clássico.

Definição

Derivada de Malliavin

Considere um espaço de probabilidade fixo ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$ e um espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$, sendo que ${\displaystyle \mathbf {E} }$ denota o valor esperado em relação à ${\displaystyle \mathbf {P} }$:

${\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ).}$

Falando intuitivamente, a derivada de Malliavin de uma variável aleatória ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ é definida expandindo-a em termos de variáveis aleatórias gaussianas que são parametrizadas pelos elementos de ${\displaystyle H}$ e diferenciando da expansão formalmente. A integral de Skorokhod é o operador adjunto da derivada de Malliavin. Considere uma família de variáveis aleatórias de valores reais ${\displaystyle W(h)}$, indexada pelos elementos ${\displaystyle h}$ do espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$. Assuma em seguida que cada ${\displaystyle W(h)}$ é uma variável aleatória gaussiana (normal), que o mapa que leva de ${\displaystyle h}$ a ${\displaystyle W(h)}$ é um mapa linear e que a média e a estrutura de covariância são dadas por:

${\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}$

${\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},}$

para todo ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle h}$ em ${\displaystyle H}$. Pode-se mostrar que, dado ${\displaystyle H}$, sempre existe um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$ e uma família de variáveis aleatórias com as propriedades acima. A derivada de Malliavin é essencialmente definida ao configurar formalmente a derivada da variável aleatória ${\displaystyle W(h)}$ como sendo ${\displaystyle h}$ e então estender esta definição a variáveis aleatórias suficientemente suaves. Para uma variável aleatória ${\displaystyle F}$ da forma:

${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),}$

em que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ é suave, a derivada de Malliavin é definida usando a "definição formal" anterior e a regra da cadeia:

${\displaystyle \mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.}$

Em outras palavras, enquanto ${\displaystyle F}$ era uma variável aleatória de valores reais, sua derivada ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ é uma variável aleatória de valor ${\displaystyle H}$, um elemento do espaço ${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H)}$. Certamente, este procedimento apenas define ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ para variáveis aleatórias "suaves", mas um procedimento de aproximação pode ser empregado para definir ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ para ${\displaystyle F}$ em um subespaço grande de ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$; o domínio de ${\displaystyle \mathrm {D} }$ é o fecho das variáveis aleatórias suaves na seminorma:

${\displaystyle \|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.}$

Este espaço é denotado por ${\displaystyle \mathrm {D} ^{1,p}}$ e é chamado de espaço de Watanabe–Sobolev.

Integral de Skorokhod

Por simplicidade, considere agora apenas o caso ${\displaystyle p=2}$. A integral de Skorokhod ${\displaystyle \delta }$ é definida como o adjunto-${\displaystyle L^{2}}$ da derivada de Malliavin ${\displaystyle \mathrm {D} }$. Assim como ${\displaystyle \mathrm {D} }$ não foi definida no todo de ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$, ${\displaystyle \delta }$ não é definida no todo de ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$: o domínio de ${\displaystyle \delta }$ consiste naqueles processos ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ para os quais existe uma constante ${\displaystyle C(u)}$, tal que, para toda ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle \mathrm {D} ^{1,2}}$,

${\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}$

A integral de Skorokhod de um processo ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ é uma variável aleatória de valores reais ${\displaystyle \delta u}$ em ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$; se ${\displaystyle u}$ cai no domínio de ${\displaystyle \delta }$, então , ${\displaystyle \delta u}$ é definida pela relação que, para toda ${\displaystyle F\in \mathrm {D} ^{1,2}}$,

${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}$

Assim como a derivada de Malliavin ${\displaystyle \mathrm {D} }$ foi primeiramente definida em variáveis aleatórias simples e suaves, a integral de Skorokhod tem uma expressão simples para "processos simples": se ${\displaystyle u}$ for dada por

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}$

em ${\displaystyle F_{j}}$ suave e ${\displaystyle h_{j}}$ em ${\displaystyle H}$, então:

${\displaystyle \delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).}$^[2]

Propriedades

• De acordo com a propriedade da isometria, para qualquer processo ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ que cai no domínio de ${\displaystyle \delta }$,

${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}$

Se ${\displaystyle u}$ for um processo adaptado, então, ${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$ para ${\displaystyle s>t}$, de modo que o segundo termo no lado direito desaparece. As integrais de Skorokhod e Itō coincidem neste caso e a equação acima se torna a isometria de Itō.

• A derivada da integral de Skorokhod é dada pela fórmula:

${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}$

em que ${\displaystyle D_{h}X}$ representa ${\displaystyle (\mathrm {D} X)(h)}$, a variável aleatória que é o valor do processo ${\displaystyle \mathrm {D} X}$ no "tempo" ${\displaystyle h}$ em ${\displaystyle H}$.

• A integral de Skorokhod do produto de uma variável aleatória ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle \mathrm {D} ^{1,2}}$ e um processo ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle dom(\delta )}$ é dada pela fórmula:

${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.}$^[3]

Referências