Polinómio de Newton

Em análise numérica, polinômio ^{(português brasileiro)} ou polinómio ^{(português europeu)} de Newton (nomeado em referência a Isaac Newton) é um polinômio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinômio são calculados através de diferenças divididas.^[1][2]

Dado um conjunto de ${\displaystyle k+1}$ pontos:

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

com todos ${\displaystyle x_{j}}$ distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Newton é dado por:

${\displaystyle p(x)=y_{0}+\sum _{i=1}^{n}\left(\triangle ^{i}y_{0}\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})\right)}$

Onde

${\displaystyle \triangle ^{i}y_{0}}$ := diferença dividida de i-ésima ordem, do ponto 0.

Exemplo

O polinômio ${\displaystyle p_{2}(x)}$, que interpola ${\displaystyle f(x)}$ nos pontos dados^[2]

${\displaystyle x_{0}=-1~\,f(x_{0})=4}$

${\displaystyle x_{1}=0~\,f(x_{1})=1}$

${\displaystyle x_{2}=2~\,f(x_{2})=-1}$

Na forma de Newton^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{c||ccc}x&-1&0&2\\\hline f(x)&4&1&-1\\\end{array}}}$ (Operador diferenças divididas )

${\displaystyle p_{2}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f[x_{0},x_{1}]+(x-x_{0})(x-x_{1})f[x_{0},x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle {\begin{array}{c||ccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}\\\hline -1&4&&\\&&-3&\\0&1&&{\frac {2}{3}}\\&&-1&\\2&-1&&\\\end{array}}}$

${\displaystyle p_{2}(x)=4+(x-(-1))({\frac {(1-4)}{(0-(-1))}})+(x-(-1))(x-0)({\frac {{\frac {((-1)-1)}{(2-0)}}-{\frac {(1-4)}{(0-(-1))}}}{2-(-1)}})}$

${\displaystyle p_{2}(x)=4+(x+1)(-3)+(x+1)(x-0)({\frac {2}{3}})}$

Ver também

Referências

Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Polinómio de Newton

• Amy Hui-Lin Chiu, Quartic Newton's method and matings of polynomials Thesis (Ph. D.)--Boston University, 1997. OCLC 37597068 (em inglês)
• Wilhelm Huisinga, Faber and Newton polynomial integrators for open system density matrix propagation , Berlin : ZIB, 1998. OCLC 76017284 (em inglês)

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