Relacja antysymetryczna

Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par ${\displaystyle (x,y)}$ i ${\displaystyle (y,x)}$ dla różnych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$

Formalnie relację dwuczłonową ${\displaystyle \varrho \subset X\times X}$ nazywa się antysymetryczną, gdy:

${\displaystyle \forall _{x,y\in X}(x\;\varrho \;y\land y\;\varrho \;x\;\Rightarrow \;x=y).}$

Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).

Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla ${\displaystyle x\neq y}$ przynajmniej jedna z par ${\displaystyle (x,y)}$ i ${\displaystyle (y,x)}$ nie należy do relacji).

Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski^[1] podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz^[2] używają drugiej.

Przykłady

• Relacja równości w dowolnym zbiorze.
• Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne:

• Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Przypisy