Działanie dwuargumentowe

Działanie dwuargumentowe a. binarne – działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia

 Osobne artykuły: zapis przedrostkowy, zapis wrostkowy i zapis przyrostkowy.

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. ${\displaystyle f(a,b),}$ opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. ${\displaystyle a\oplus b,}$ choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) ${\displaystyle \diamondsuit }$ wyróżnia się notacje

• przedrostkową, prefiksową lub polską,

  ${\displaystyle \diamondsuit (x,y),}$

• przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,

  ${\displaystyle (x,y)\diamondsuit ,}$

• wrostkowa, infiksowa,

  ${\displaystyle (x\;\diamondsuit \;y).}$

Przykładowo wyrażenie wrostkowe ${\displaystyle 2\cdot (4-1)+3,}$ będzie miało następującą postać

• prefiksową: ${\displaystyle +\,\cdot \,2\,-\,4\;1\;3,}$
• postfiksową: ${\displaystyle 2\,4\,1\,-\,\cdot \,3\,+.}$

Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

• plus:

  ${\displaystyle +\oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus }$ lub

• zwężających się ku dołowi:

  ${\displaystyle \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee .}$

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę ${\displaystyle -\circleddash \ominus \boxminus .}$

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

• kropkę lub okrągły znak:

  ${\displaystyle \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc ,}$

• iks:

  ${\displaystyle \times \otimes \bigotimes \boxtimes ,}$

• gwiazdkę:

  ${\displaystyle \star *\circledast }$ lub

• zwężające się ku górze

  ${\displaystyle \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge .}$

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez ${\displaystyle \cdot ^{-1},}$ notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Przykłady

 Zobacz też: algebra ogólna.

Działania wewnętrzne

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru ${\displaystyle X}$ element tego zbioru,

${\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X,\quad \forall _{x,y\in X}\;(x,y)\mapsto \heartsuit (x,y)}$

Strukturę ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$ nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ ma dodatkowo element neutralny, to struktura ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$ jest monoidem. Jeśli struktura ${\displaystyle (X,\diamondsuit ,\heartsuit )}$ jest grupą ze względu na przemienne działanie ${\displaystyle \diamondsuit }$ i półgrupą ze względu na ${\displaystyle \heartsuit ,}$ przy czym działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ jest rozdzielne względem ${\displaystyle \diamondsuit ,}$ to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$ jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci ${\displaystyle (x,0).}$ Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest ${\displaystyle 0,}$ elementem neutralnym mnożenia jest ${\displaystyle 1.}$ Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: ${\displaystyle x^{y},}$ które parze liczb ${\displaystyle (x,y)}$ przypisuje odpowiednią potęgę: ${\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {N} }\;(x,y)\mapsto x^{y}.}$

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji ${\displaystyle \circ \colon X\times X\to X}$ jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze ${\displaystyle X.}$ W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ element pewnego zbioru ${\displaystyle Z,}$

${\displaystyle \spadesuit \colon X\times Y\to Z,\quad \forall _{x\in X,y\in Y}\;(x,y)\mapsto \spadesuit (x,y)}$

Przykładami takich działań są

• mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K,}$

  ${\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V,}$

• działanie grupy ${\displaystyle G}$ na zbiorze ${\displaystyle X,}$

  ${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X,}$

Zobacz też

• Liczba Grahama
• Notacja strzałkowa
• Tetracja

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binary Operation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Binary operation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].