Funkcja wektorowa

Funkcja wektorowa – funkcja o wartościach wektorowych, tj. o przeciwdziedzinie będącej przestrzenią liniową^[1].

Przykładami funkcji wektorowych są funkcje opisujące:

• krzywe parametryczne – jednej zmiennej ${\displaystyle t}$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla krzywych na płaszczyźnie), 3 funkcje (dla krzywych w przestrzeni), ${\displaystyle n}$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni ${\displaystyle R^{n}}$),
• powierzchnie parametryczne – dwu zmiennym ${\displaystyle t}$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni, np. sfera, elipsoida itp.), 3 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni ${\displaystyle R^{4}}$), ${\displaystyle n}$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni ${\displaystyle R^{n+1}}$).

W kinematyce: ciału poruszającemu się w przestrzeni można przypisać funkcje wektorowe, zależne od czasu:

• wektor położenia w przestrzeni,
• wektor prędkości,
• wektor przyspieszenia,
• wektor momentu pędu
• itp.

Funkcje wektorowe jednej zmiennej

Funkcje wektorowe o 2 współrzędnych

Niech ${\displaystyle t\in R.}$

Funkcja ${\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{2}}$ taka że

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,}$

gdzie:

${\displaystyle x(t),y(t)}$ – funkcje skalarne, zależne od jednej zmiennej ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }$ – wersory układu współrzędnych w ${\displaystyle R^{2},}$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej ${\displaystyle t\in R}$ wektor ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ leżący w płaszczyźnie ${\displaystyle R^{2}.}$

Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t)]}$

lub w postaci kolumny

${\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{bmatrix}}.}$

Przykład

Równanie parametryczne okręgu ma postać:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,}$

gdzie:

${\displaystyle x(t)=r\cdot \cos(t),}$

${\displaystyle y(t)=r\cdot \sin(t),}$

${\displaystyle t\in \langle 0,2\pi ).}$

Funkcje wektorowe o 3 współrzędnych

Funkcja ${\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{3}}$ taka że

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} ,}$

gdzie:

${\displaystyle x(t),y(t),z(t)}$ – funkcje skalarne zmiennej ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ,}$ i ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ – wersory układu współrzędnych w ${\displaystyle R^{3},}$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej ${\displaystyle t\in R}$ wektor ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ leżący w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}.}$

Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]}$

lub w postaci kolumny

${\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\\{z(t)}\end{bmatrix}}.}$

Uogólnienie funkcji wektorowych

Ogólnie funkcję wektorową wielu zmiennych ${\displaystyle \mathbf {r} (x)=[f_{n}(x_{n})]}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ można zapisać pod postacią:

${\displaystyle \mathbf {r} (x)={\begin{bmatrix}{f_{1}(x_{1})}\\{f_{2}(x_{2})}\\{f_{3}(x_{3})}\\{...}\\{f_{n}(x_{n})}\end{bmatrix}}.}$

Pierwszą Pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych jest macierz Jacobiego.

Zobacz też

• krzywa
• krzywa łańcuchowa
• współrzędne krzywoliniowe

Przypisy

Bibliografia

• T. Trajdos: Matematyka. Część III, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.