Probleem van Waring

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal ${\displaystyle k}$ een geheel getal ${\displaystyle s}$ is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$-de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)

Voor ieder getal ${\displaystyle k}$ is ${\displaystyle g(k)}$ gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal ${\displaystyle s}$s met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.

Euler veronderstelde dat ${\displaystyle g(k)=2^{k}+[(3/2)^{k}]-2}$, waarin ${\displaystyle [x]}$ het gehele deel van ${\displaystyle x}$ is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is ${\displaystyle g(k)}$ voor de meeste getallen ${\displaystyle k}$ bekend:

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]-2&{\mbox{als }}2^{k}({\tfrac {3}{2}})^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]\leq 2^{k}\\2^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]+[({\tfrac {4}{3}})^{k}]-2&{\mbox{als }}2^{k}({\tfrac {3}{2}})^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]>2^{k}{\mbox{en }}[({\tfrac {4}{3}})^{k}][({\tfrac {3}{2}})^{k}]+[({\tfrac {4}{3}})^{k}]+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]=2^{k}\\2^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]+[({\tfrac {4}{3}})^{k}]-3&{\mbox{als }}2^{k}({\tfrac {3}{2}})^{k}+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]>2^{k}{\mbox{en }}[({\tfrac {4}{3}})^{k}][({\tfrac {3}{2}})^{k}]+[({\tfrac {4}{3}})^{k}]+[({\tfrac {3}{2}})^{k}]>2^{k}\end{cases}}}$

Het getal G(k)

Belangrijker nog dan ${\displaystyle g(k)}$ is het getal ${\displaystyle G(k)}$. Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$-de machten. Dit wil zeggen dat er een getal ${\displaystyle q}$ is zodat ieder getal groter dan ${\displaystyle q}$ zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)

Het getal ${\displaystyle G(k)}$ is groter dan of gelijk aan:

• ${\displaystyle 2^{r+2}}$ als ${\displaystyle k=2^{r}}$ met ${\displaystyle r\geq 2}$ of ${\displaystyle k=3\cdot 2^{r}}$;
• ${\displaystyle p^{r+1}}$ als ${\displaystyle p}$ een priemgetal groter dan 2 is en ${\displaystyle k=p^{r}(p-1)}$;
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p^{r+1}-1)}$ als ${\displaystyle p}$ een priemgetal groter dan 2 is en ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}p^{r}(p-1)}$;
• ${\displaystyle k+1}$ voor alle getallen ${\displaystyle k>1}$.

Bovengrens voor G(k)

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor ${\displaystyle G(k)}$:

${\displaystyle k}$         3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
${\displaystyle G(k)\leq }$    7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142