Poissonvergelijking

Een poissonvergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die in een cartesisch coördinatenstelsel onderstaande vorm heeft:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)}$

De divergentie van de gradiënt van de scalaire functie ${\displaystyle \varphi (x,y,z)}$ is gelijk aan een andere scalaire functie, ${\displaystyle f(x,y,z)}$.

Onafhankelijk van een coördinatenstelsel genoteerd met de operator ${\displaystyle \nabla }$ (nabla):

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f}$

of met de laplace-operator:

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$.

De vergelijking is genoemd naar de Franse wiskundige, meetkundige en fysicus Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840).

Voorbeelden

De vergelijking komt onder andere voor in de elektriciteitsleer, als betrekking tussen de elektrische potentiaal ${\displaystyle V}$ en een elektrische ladingsdichtheid ${\displaystyle \rho }$.

${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\rho \over \varepsilon _{0}}}$

In een ladingsvrij gebied gaat de vergelijking over in de laplace-vergelijking:

${\displaystyle \nabla ^{2}V=0}$

Oplossingsmethoden

Er bestaan verscheidene methoden voor een numerieke oplossing. De relaxatiemethode, een iteratief algoritme, is daar een voorbeeld van.

Externe link

• (en) Poisson Equation op EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Bibliografie

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9