Meetkundig gemiddelde

Het meetkundig gemiddelde of geometrisch gemiddelde van ${\displaystyle n}$ getallen wordt verkregen door de getallen met elkaar te vermenigvuldigen en vervolgens van het product de ${\displaystyle n}$-de-machtswortel te nemen.

Voor ${\displaystyle n=2}$ gebruikt men ook de synoniemen middelevenredige of middenevenredige.

Definitie

Het meetkundig gemiddelde ${\displaystyle m}$ van de ${\displaystyle n}$ positieve getallen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ is gedefinieerd als:

${\displaystyle m={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\!1/n}}$

Voor ${\displaystyle n=2}$ geldt dus: ${\displaystyle m^{2}=a_{1}a_{2}}$, zodat

${\displaystyle {a_{1}}:m=m:{a_{2}}}$ of ${\displaystyle {{a_{1}} \over m}={m \over {a_{2}}}}$.

Voorbeeld

De koers van een aandeel stijgt in het eerste jaar met 10% (factor 1,1), in het tweede jaar met 20% (factor 1,2), en daalt in het derde jaar met 15% (factor 0,85). Het meetkundig gemiddelde van deze koerswijzigingen is nu:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1{,}1\cdot 1{,}2\cdot 0{,}85}}\approx 1{,}0391}$

Dit betekent dat een jaarlijkse koersstijging van 3,91% gedurende drie jaar dezelfde eindkoers zou hebben opgeleverd.

Negatieve getallen

Omdat in de definitie een worteltrekking voorkomt, moet men voorzichtig zijn met negatieve getallen. Zo is het meetkundig gemiddelde van twee reële getallen slechts goed gedefinieerd (en een positief reëel getal) als beide getallen hetzelfde teken hebben. In praktische toepassingen wordt het meetkundig gemiddelde bijna uitsluitend voor positieve getallen berekend.

Voor positieve getallen is het meetkundig gemiddelde nooit groter dan het rekenkundig gemiddelde (strikt kleiner tenzij alle getallen gelijk zijn). Dit kan worden aangetoond door de ongelijkheid van Jensen toe te passen op de convexe functie ${\displaystyle x\mapsto -\log x}$. Het meetkundig gemiddelde van positieve getallen ligt tussen het kleinste en het grootste getal van de collectie.

Interpretatie

• Het meetkundig gemiddelde zoekt een evenwicht in de verhoudingen tussen getallen, zoals het rekenkundige gemiddelde een evenwicht zoekt in de verschillen. Dit wordt (nog steeds voor positieve getallen) preciezer uitgedrukt als volgt:

De logaritme van het meetkundig gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde van de afzonderlijke logaritmen:

${\displaystyle \ln {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\tfrac {1}{n}}\ln {(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})}={\tfrac {1}{n}}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\ldots +\ln a_{n})}$

• In een meetkundige rij is elk getal het meetkundig gemiddelde van het vorige en volgende getal.
• Het meetkundig gemiddelde van de getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is de maximale waarde van ${\displaystyle x}$ zodat de matrix ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&x\\x&b\end{bmatrix}}}$ positief semidefiniet is, dat wil zeggen dat de determinant ${\displaystyle ab-x^{2}}$ van deze matrix niet negatief is. Dit is het geval als en slechts als ${\displaystyle x^{2}\leq ab}$.

Meetkundige constructie

Het meetkundig gemiddelde ontleent zijn naam aan de volgende meetkundige constructie voor het gemiddelde van twee positieve getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$. Teken op eenzelfde rechte ${\displaystyle R}$ twee aansluitende lijnstukken met lengten ${\displaystyle a}$ respectievelijk ${\displaystyle b}$ die elkaar ontmoeten in een punt ${\displaystyle O}$. Teken de cirkel die de som van beide lijnstukken als diameter heeft. Laat de loodlijn op de rechte ${\displaystyle R}$ vanaf het punt ${\displaystyle O}$ op ${\displaystyle R}$ de cirkelomtrek snijden in een punt ${\displaystyle P}$. Dan is de lengte van het lijnstuk ${\displaystyle OP}$ het meetkundig gemiddelde van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$. De straal van de cirkel is overigens het rekenkundig gemiddelde van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$. Hieruit blijkt grafisch dat het meetkundig gemiddelde van twee getallen niet groter is dan het rekenkundig gemiddelde.

Een andere meetkundige interpretatie van het meetkundig gemiddelde ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ is: het is de zijde van het vierkant waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van de rechthoek met zijden ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.