Magisch vierkant van Franklin

Met een magisch vierkant van Franklin wordt een van de magische vierkanten bedoeld die Benjamin Franklin in 1737 maakte. Het waren een van 8 bij 8 en een van 16 bij 16.

Weergave

Het magisch vierkant van Franklin van 8 bij 8 was:

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Het magisch vierkant van 16 bij 16 was:

200 217 232 249 8 25 40 57 72 89 104 121 136 153 168 185
58 39 26 7 250 231 218 199 186 167 154 135 122 103 90 71
198 219 230 251 6 27 38 59 70 91 102 123 134 155 166 187
60 37 28 5 252 229 220 197 188 165 156 133 124 101 92 69
201 216 233 248 9 24 41 56 73 88 105 120 137 152 169 184
55 42 23 10 247 234 215 202 183 170 151 138 119 106 87 74
203 214 235 246 11 22 43 54 75 86 107 118 139 150 171 182
53 44 21 12 245 236 213 204 181 172 149 140 117 108 85 76
205 212 237 244 13 20 45 52 77 84 109 116 141 148 173 180
51 46 19 14 243 238 211 206 179 174 147 142 115 110 83 78
207 210 239 242 15 18 47 50 79 82 111 114 143 146 175 178
49 48 17 16 241 240 209 208 177 176 145 144 113 112 81 80
196 221 228 253 4 29 36 61 68 93 100 125 132 157 164 189
62 35 30 3 254 227 222 195 190 163 158 131 126 99 94 67
194 223 226 255 2 31 34 63 66 95 98 127 130 159 162 191
64 33 32 1 256 225 224 193 192 161 160 129 128 97 96 65

Eigenschappen

  • De som van de rijen en kolommen zijn telkens gelijk aan de magische constante;
  • De som van de halve rijen en kolommen zijn telkens gelijk aan de helft van de magische constante;
  • De sommen van de diagonalen zijn ongelijk aan elkaar en ongelijk aan de magische constante, dus strikt genomen is dit geen magisch vierkant;
  • Gebogen diagonalen, die halverwege van richting veranderen, zoals 16-63-57-10-23-40-34-17, zijn telkens gelijk aan de magische constante, ook als ze verschoven worden;
  • Elk vierkantje van 2 bij 2 heeft een vaste som, gelijk aan 4 maal de magische constante gedeeld door het aantal kolommen.

Magische vierkanten die deze eigenschappen hebben, worden bij uitbreiding ook magische vierkanten van Franklin genoemd. De zoektocht naar een magisch vierkant van Franklin van 12 bij 12 leverde het HSA-magisch vierkant op dat net niet een magisch vierkant van Franklin is. Inmiddels is door Cor Hurkens bewezen dat een magisch vierkant van Franklin van orde 4k voor elke k mogelijk is, behalve de ordes 4 (k=1) en 12 (k=3) (Hurkens, 2007).

Trivia

  • US Postal heeft in 2006 een postzegel uitgebracht waarop onder meer het magisch vierkant van Franklin van 8 bij 8 staat ter ere van diens 300e geboortedag.

Externe link

  • Kennislink: Franklin-vierkant van 12 bij 12 onmogelijk
Bronnen, noten en/of referenties
  • Essen, A. van den (2006) Magische vierkanten, van Lo Shu tot Sudoku, Diemen: Veen magazines.
  • Hurkens, C.A.J. (2007) Plenty of Franklin Magic Squares, but none of order 12 (intern report TUe).