Lagrange-polynoom

Lagrange-polynomen worden in de numerieke wiskunde gebruikt om van een onbekende functie waarvan maar in een eindig aantal punten ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ de functiewaarde bekend is, de waarde in tussengelegen punten kan worden geïnterpoleerd. Hierbij wordt een lineaire combinatie van polynomen gebruikt, de lagrange-polynomen. Deze polynomen horen bij de punten ${\displaystyle x_{i}}$, en wel zo dat het ${\displaystyle i}$-de polynoom ${\displaystyle \ell _{i}}$ de waarde 1 heeft in het punt ${\displaystyle x_{i}}$ en de waarde 0 in de overige punten. De coëfficiënten van de lineaire combinatie zijn dan juist de bekende functiewaarden in de betreffende punten. De functiewaarde van de lineaire combinatie in een tussengelegen punt ${\displaystyle x}$, is een benadering van de onbekende functiewaarde in ${\displaystyle x}$.

De lagrange-polynomen zijn naar Joseph-Louis Lagrange genoemd, maar werden voor het eerst in 1779 door Edward Waring beschreven en in 1783 door Leonhard Euler herontdekt.

Definitie

De lagrange-polynomen, die bij de ${\displaystyle n+1}$ punten ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ horen, zijn de ${\displaystyle n+1}$ polynomen ${\displaystyle \ell _{i}}$ van de graad ${\displaystyle n}$, gedefinieerd door

${\displaystyle \ell _{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.}$

Eigenschappen

Voor het lagrange-polynoom ${\displaystyle \ell _{i}}$ geldt:

${\displaystyle \ell _{i}(x_{i})=1}$

en

${\displaystyle \ell _{i}(x_{k})=0,\quad {\text{voor }}k\neq i}$.

Het lagrange-polynoom ${\displaystyle \ell _{i}}$ is het unieke ${\displaystyle n}$-de-graadspolynoom dat aan de bovenstaande eigenschap voldoet, dat wil zeggen

${\displaystyle \ell _{i}(x)=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x^{k}}$

is de unieke oplossing van het stelsel van lineaire vergelijkingen

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x_{i}^{k}=\delta _{ij}}$

waarbij ${\displaystyle \delta _{ij}}$ het symbool is voor de kroneckerdelta.

Toepassing

Als van de functie ${\displaystyle f}$ de functiewaarde in de ${\displaystyle n+1}$ punten ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ bekend is, kan ${\displaystyle f}$ door het ${\displaystyle n}$-de-graadspolynoom

${\displaystyle L(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\ell _{i}(x)}$

worden benaderd.