Evenwichtig priemgetal

Een evenwichtig priemgetal is een priemgetal met gelijke priemgetalhiaten onder en boven zich. Met andere woorden: het is het rekenkundig gemiddelde van het naastlagere en het naasthogere priemgetal. Uitgedrukt in algebraïsche termen: een priemgetal ${\displaystyle p_{n}}$, waarin ${\displaystyle n}$ zijn volgnummer is in de lijst van priemgetallen, heet evenwichtig indien

${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}}$

Bijvoorbeeld: 53 is het 16^e priemgetal; het 15^e (47) en het 17^e priemgetal (59) zijn samen 106, en de helft daarvan is terug 53; daarom heet 53 een evenwichtig priemgetal.

Voorbeelden

De eerste evenwichtige priemgetallen zijn:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, …^[1]

Oneindigheid

Er is een vermoeden, maar dit is nog niet bewezen, dat er oneindig veel evenwichtige priemgetallen bestaan.

Drie zulke opeenvolgende priemgetallen met gelijke afstand worden soms aangeduid als "CPAP-3".^[2] Een evenwichtig priemgetal is per definitie het middelste getal in een CPAP-3. Per 2014 heeft het grootste bekende CPAP-3 getal 10546 cijfers – het is gevonden door David Broadhurst. Het is:^[3]

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430}$

De waarde van de index n (volgnummer van het priemgetal) is onbekend.

Veralgemenisering

De evenwichtige priemgetallen kunnen worden gegeneraliseerd tot de "evenwichtige priemgetallen van de n^e orde". Een evenwichtig priemgetal van de n^e orde is een priemgetal ${\displaystyle p_{k}}$ dat gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de n naastlagere plus de n naasthogere priemgetallen:

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}}$

Derhalve is een "gewoon" evenwichtig priemgetal een gegeneraliseerd evenwichtig priemgetal van de 1^e orde. Het kleinste evenwichtig priemgetal van de 2^e orde is 79 (het 22^e priemgetal); 79 is het gemiddelde van ${\displaystyle p_{20}}$ (71), ${\displaystyle p_{21}}$ (73), ${\displaystyle p_{23}}$ (83) en ${\displaystyle p_{24}}$ (89): ${\displaystyle (71+73+83+89)/4=316/4=79}$.^[4] Er zijn ook reeksen gedocumenteerd van evenwichtige priemgetallen van de 3^e orde^[5] en die van de 4^e orde.^[6]