C*-algebra

C*-algebra's (uitgesproken als "C-ster") vormen een belangrijk gebied van onderzoek in de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde.

Een C*-algebra is een Banach-algebra uitgerust met een involutie * zodanig dat voor iedere vector ${\displaystyle a}$ geldt dat ${\displaystyle \|aa^{*}\|=\|a\|^{2}.}$^[1]

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen:

• A is een topologisch gesloten verzameling in de normtopologie van de operatoren.
• A is gesloten onder de operatie van het nemen van toevoegingen van operatoren.

Definitie

In de context van een Banach-algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ verstaat met onder involutie een afbeelding ${\displaystyle *:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ die niet alleen haar eigen inverse is (de gebruikelijke definitie van een involutie) maar die bovendien als volgt de structuur van de Banach-algebra respecteert:^[1]

1. ${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}}$
2. ${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}},\forall \lambda ,\mu \in {\mathbb {C} }:(\lambda a+\mu b)^{*}={\overline {\lambda }}a^{*}+{\overline {\mu }}b^{*}}$

Een C*-algebra is een Banach-algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ uitgerust met een involutie ${\displaystyle *}$ die voldoet aan de normgelijkheid

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:\left\|aa^{*}\right\|=\left\|a\right\|^{2}.}$

Voorbeelden

Vierkante matrices

In de complexe Euclidische vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ wordt de norm van een vector ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ gegeven door

${\displaystyle \|a\|={\sqrt {|a_{1}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}}}$

De complexe vectorruimte ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n\times n}(\mathbb {C} )}$ der vierkante complexe ${\displaystyle n\times n}$-matrices kan worden opgevat als een algebra van lineaire transformaties van ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Ze wordt een Banach-algebra door de norm van een matrix te definiëren als

${\displaystyle \|M\|=\sup _{a\in \mathbb {C} ^{n},\|a\|=1}\|Ma\|}$

De operatie ${\displaystyle *}$ die een matrix omvormt in zijn complex toegevoegde getransponeerde

${\displaystyle M^{*}=\ ^{\tau }{\overline {M}}}$

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

Complexe getallen

Als bijzonder geval hiervan is ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

Hilbertruimte-operatoren

Algemener vormt de Banach-algebra ${\displaystyle B(H)}$ der continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte ${\displaystyle H}$ een C*-algebra voor de involutie die elke operator ${\displaystyle A}$ omvormt in zijn toegevoegde operator ${\displaystyle A^{*}}$: dit is de unieke afbeelding ${\displaystyle A\to A^{*}}$ die voldoet aan

${\displaystyle \forall x,y\in H:(Ax,y)=(x,A^{*}y)}$

Continue functies

Als ${\displaystyle X}$ een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte ${\displaystyle C(X)}$ der complexwaardige continue functies op ${\displaystyle X}$ een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|}$

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van ${\displaystyle C(X)}$ een (commutatieve) C*-algebra.

Deelalgebra

Een gesloten Banach-deelalgebra van een gegeven C*-algebra die bovendien stabiel blijft onder de involutie, is opnieuw een C*-algebra. In combinatie met het hogergenoemde voorbeeld ${\displaystyle B(H)}$ levert dit het typische voorbeeld uit de inleidende paragraaf.

Tegenvoorbeeld

De ruimte ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n\times n}(\mathbb {C} )}$ hierboven, met dezelfde involutie (complex toegevoegde van de getransponeerde matrix) is niet noodzakelijk een C*-algebra als met een andere norm wordt gewerkt, bijvoorbeeld de norm die met een matrix de grootste absolute waarde van een van zijn matrixelementen associeert.