Polinomio di Legendre

In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Legendre.
Grafico dei polinomi di Legendre per n ≤ 5

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . Si hanno soluzioni convergenti anche per x = ± 1 {\displaystyle x=\pm 1} purché n {\displaystyle n} sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di n {\displaystyle n} formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} ha grado n {\displaystyle n} e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

P n ( x ) = ( 2 n n ! ) − 1 d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] . {\displaystyle P_{n}(x)=(2^{n}n!)^{-1}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} rispetto al prodotto interno L2:

∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n . {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}

Qui δ m n   {\displaystyle \delta _{mn}~} denota la delta di Kronecker, uguale a 1 {\displaystyle 1} se m = n {\displaystyle m=n} e uguale a 0 {\displaystyle 0} in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale { 1 , x , x 2 , … } {\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\ldots \right\}} e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per ( 2 n ) ! 2 n ( n ! ) 2 {\displaystyle (2n)! \over {2^{n}(n!)^{2}}} con n = 0 , 1 , … {\displaystyle n=0,1,\ldots } che indica l' n {\displaystyle n} -esimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

P 0 ( x ) = 1 ; P 1 ( x ) = x ; P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) ; P 3 ( x ) = 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) ; P 4 ( x ) = 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) ; P 5 ( x ) = 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) ; P 6 ( x ) = 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1;\\P_{1}(x)&=x;\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);\\P_{6}(x)&={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5).\end{aligned}}}

Bibliografia

  • (EN) Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Mineola, Dover Publications, 1972. (V. cap. 8 e cap. 22.)
  • (EN) Byerly, William Elwood (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
  • (EN) Todhunter, Isaac (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, MacMillan (v. pp. 7-117)
  • (DE) Heine, Eduard (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte), Reimer
  • (DE) Heine, Eduard (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte), Reimer

Voci correlate

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • http://www.octave.org I polinomi di Legendre, come i polinomi associati, possono essere calcolati numericamente mediante funzione legendre del programma GNU Octave (distribuito con la licenza GPL nel modulo contribuito octave-forge/specfun di octave v. 2.1.35 o successive
  • https://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html
Controllo di autoritàThesaurus BNCF 38392 · LCCN (EN) sh85075779 · GND (DE) 4333222-5 · BNF (FR) cb12122983h (data) · J9U (EN, HE) 987007560402505171 · NDL (EN, JA) 00567364
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