Moment üreten fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M X ( t ) = E ( e t X ) , t ∈ R , {\displaystyle M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,}

Moment üreten fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır.

Gerçel bileşenli vektör değerli rassal değişkenler X için moment üreten fonksiyon şöyle ifade edilir:

M X ( t ) = E ( e ⟨ t , X ⟩ ) {\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=E\left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)}

Burada t bir vektördür ve ⟨ t , X ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle } nokta çarpan olur.

Şayet t = 0 aralığı etrafında bir momentin bulunduğu bilinirse, şu ifade ninci momenti gösterir:

E ( X n ) = M X ( n ) ( 0 ) = d n M X ( t ) d t n | t = 0 . {\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}

Eğer X için bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f(x) var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}
= ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ ) f ( x ) d x {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}
= 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ , {\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,}

Burada m i {\displaystyle m_{i}} iinci matematiksel moment olur. M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} f(x) fonksiyonunun bir iki taraflı Laplace dönüşümüdür.

Olasılık fonksiyonunun sürekli olup olmadığına bakılmaksızın, moment üreten fonksiyon şu Rimemann-Stieltjes intergali ile verilebilir:

M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}

Burada F yığmalı dağılım fonksiyonudur.

Eğer X1, X2, ..., Xn bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılma göstermeyen) rassal değişkenlerse ve ai verilmiş sabitler olup

S n = ∑ i = 1 n a i X i , {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}

ise, o halde Sn için olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir Xi için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının konvülasyonu olur ve ayni koşullar için Snnin moment üreten fonksiyonu şöyle verilir:

M S n ( t ) = M X 1 ( a 1 t ) M X 2 ( a 2 t ) ⋯ M X n ( a n t ) . {\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t).}


Olasılık kuramında her dağılım için genel ve tüm kapsamlı bulunan moment üreten fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık üreten fonksiyon en önemlileridir. Kümülant üreten fonksiyon ise moment üreten fonksiyonun logaritma dönüşümünden oluşur.

İçsel kaynaklar

  • Momentler
  • Kümülant
  • Karakteristik fonksiyon
  • Faktöriyel moment üreten fonksiyon