İntegral tablosu

Kalkülüs
Kalkülüs
Türev
İntegral
  • İntegral tablosu
  • Has olmayan integral
  • İntegralle hacim hesabı

İntegral Alma Yöntemleri:

  • Kısmi İntegrasyon
  • değişken değiştirme
Çok değişkenli
  • g
  • t
  • d

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Bu maddede yaygın integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

C harfi burada integral sabiti olarak kullanılmıştır.

Genel Fonksiyonların İntegralleri için Kurallar

∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}
∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) ∫ g ( x ) d x − ∫ ( ∫ g ( x ) d x ) d ( f ( x ) ) {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,d(f(x))}

Basit Fonksiyonların İntegralleri

Rasyonel Fonksiyonlar

∫ d x = x + C {\displaystyle \int \,dx=x+C}
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C  Eğer  n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ Eğer }}n\neq -1}
∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}
∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C {\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}

İrrasyonel Fonksiyonlar

∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C {\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫ − d x a 2 − x 2 = arccos ⁡ x a + C {\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec | x | a + C {\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}

Logaritmik Fonksiyonlar

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C {\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}
∫ log b ⁡ x d x = x log b ⁡ x − x log b ⁡ e + C {\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}

Üstel Fonksiyonlar

∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}

Trigonometrik Fonksiyonlar

∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫ sin 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x − sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x + sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫ 1 sin ⁡ ( β x ) d x = ln ⁡ ( tan ⁡ β x 2 ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sin {(\beta x)}}}\,dx={\frac {\ln(\tan {\frac {\beta x}{2}})}{\beta }}+C}
∫ 1 tan ⁡ ( β x ) d x = log ⁡ ( sin ⁡ β x ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\tan {(\beta x)}}}\,dx={\frac {\log(\sin {\beta x})}{\beta }}+C}
∫ 1 cos ⁡ ( β x ) d x = a r c t a n h ( tan ⁡ β x 2 ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\cos {(\beta x)}}}\,dx={\frac {arctanh{(\tan {\frac {\beta x}{2}})}}{\beta }}+C}
∫ 1 cot ⁡ ( β x ) d x = − log ⁡ ( cos ⁡ β x ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\cot {(\beta x)}}}\,dx=-{\frac {\log {(\cos {\beta x})}}{\beta }}+C}
∫ arcsin ⁡ ( β x ) d x = x arcsin ⁡ β x + 1 − β 2 x 2 β + C {\displaystyle \int \arcsin {(\beta x)}\,dx=x\arcsin {\beta x}+{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}x^{2}}}{\beta }}+C}
∫ arctan ⁡ ( β x ) d x = x arctan ⁡ β x − log ⁡ ( 1 + β 2 x 2 ) 2 β + C {\displaystyle \int \arctan {(\beta x)}\,dx=x\arctan {\beta x}-{\frac {\log {(1+\beta ^{2}x^{2})}}{2\beta }}+C}
∫ arccos ⁡ ( β x ) d x = x arccos ⁡ β x − 1 − β 2 x 2 β + C {\displaystyle \int \arccos {(\beta x)}\,dx=x\arccos {\beta x}-{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}x^{2}}}{\beta }}+C}
∫ arccot ⁡ ( β x ) d x = x arccot ⁡ β x + log ⁡ ( 1 + β 2 x 2 ) 2 β + C {\displaystyle \int \operatorname {arccot} {(\beta x)}\,dx=x\operatorname {arccot} {\beta x}+{\frac {\log {(1+\beta ^{2}x^{2})}}{2\beta }}+C}

Kapalı formda integrali alınamayan belirli integraller

Bazı fonksiyonların kapalı formda ters türevleri [integralleri] alınamazlar. Buna karşın, belirli integral şeklinde bazı fonksiyonların integral değerleri hesaplanabilir. Bunlardan en çok bilinen ve kullanılanlar şunlardır:

∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} (ayrıca bakınız Gama fonksiyonu)
∫ 0 ∞ e − β x 2 d x = 1 2 π β , β > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-\beta x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta }}}\quad ,\quad \beta >0} (Gauss integrali)
∫ 0 ∞ x e x − 1 d x = π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (ayrıca bakınız Bernoulli sayısı)
∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x = Γ ( z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)} ( Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} Gama fonksiyonu'dur)
∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = π a e b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} ( I 0 ( x ) {\displaystyle I_{0}(x)} olduğunda ,Bessel fonksiyonu'nun birinci çeşidi olarak düzenlenebilir.)
∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}

--

∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 2 n − 1 ( − 1 ) m + 1 2 − n f ( a + m ( b − a ) / 2 n ) . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)dx=\left({b-a}\right)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)/2^{n}).}
  • Not: Daha çok ve ayrıntılı integraller için İngilizce sayfadaki more integrals about ... linklerine tıklanabilir.

Konuyla ilgili yayınlar

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, (Ed.) (1983) [Haziran 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Düzeltmelerle birlikte 10. orijinal baskının ek düzeltmelerle birlikte 9. yeniden baskısı (Aralık 1972); 1. bas.). Washington D.C., USA; New York, USA: United States Department of Commerce, Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü; Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN-6512253-{{{3}}}. 
  • Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (Ed.). Taschenbuch der Mathematik (Almanca). 1. Ziegler, Viktor tarafından çevrildi. Weiß, Jürgen (23 bas.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ISBN 3-87144-492-8. 
  • Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (Ed.). Table of Integrals, Series, and Products (İngilizce). Scripta Technica, Inc. tarafından çevrildi (8 bas.). Academic Press, Inc. ISBN 0-12-384933-0. LCCN 2014010276. ISBN 978-0-12-384933-5.  (Several previous editions as well.)
  • Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович); Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series (İngilizce). 1–5. Queen, N. M. tarafından çevrildi (1 bas.). (Nauka) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press. ISBN 2-88124-097-6. . Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
  • Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
  • Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
  • de, Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln10 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
  • de, Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae3 Haziran 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
  • David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
  • Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition3 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Ginn & co., Boston, 1899)

Dış bağlantılar

İntegral tabloları

  • Paul's Online Math Notes27 Ekim 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • A. Dieckmann, Table of Integrals (Elliptic Functions, Square Roots, Inverse Tangents and More Exotic Functions): Indefinite Integrals29 Ocak 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Definite Integrals30 Ocak 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Math Major: A Table of Integrals
  • O'Brien, Francis J. Jr. "500 Integrals". 7 Ağustos 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Ağustos 2016.  Derived integrals of exponential, logarithmic functions and special functions.
  • Rule-based Mathematics Precisely defined indefinite integration rules covering a wide class of integrands
  • Mathar, Richard J. (2012). "Yet another table of integrals". arXiv:1207.5845 $2. 

Türevler

  • Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik9 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Çevrimiçi servisler

  • Integration examples for Wolfram Alpha30 Kasım 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Açık kaynak yazılımlar

  • wxmaxima gui for Symbolic and numeric resolution of many mathematical problems