Gränspunkt

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2016-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

För gränspunkter av fastigheter, se gränspunkt (fastighet).

En gränspunkt till en mängd eller följd är inom topologi en sorts punkt som kan "approximeras" av punkter i mängden eller följden.

Det finns olika och delvis motstridiga definitioner av gränspunkt, och det finns också många olika finare distinktioner av begreppet. Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ vara ett icke-tomt topologiskt rum.

En punkt ${\displaystyle p\in X}$ är en gränspunkt till en mängd ${\displaystyle A\subseteq X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten, också har minst en punkt, ${\displaystyle x\neq p}$, gemensam med mängden ${\displaystyle A}$. Ibland används även termen hopningspunkt för dessa punkter, men den termen ges oftast en annan innebörd.

En gränspunkt ${\displaystyle p\in X}$ till en mängd ${\displaystyle A}$ är en omega-ackumuleringspunkt till mängden ${\displaystyle A}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle p}$, också har ett uppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden ${\displaystyle A}$.

En gränspunkt ${\displaystyle p\in X}$ till en mängd ${\displaystyle A}$ är en kondensationspunkt till mängden ${\displaystyle A}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle p}$, också har ett överuppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden ${\displaystyle A}$.

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ är en gränspunkt till en följd ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ av termer ${\displaystyle x_{n}\in X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle O_{x}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle x}$, också innehåller nästan alla termer i följden, med undantag av ändligt många.

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ kallas ofta en hopningspunkt och ibland en ackumuleringspunkt till en följd ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ av termer ${\displaystyle x_{n}\in X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle O_{x}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle x}$, också innehåller ett uppräkneligt oändligt antal termer ur följden.

Se även

• Randpunkt
• Hopningspunkt