Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты ${\displaystyle E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразование ${\displaystyle X(z)}$ дискретного временного сигнала ${\displaystyle x[n]}$ задаётся как:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

где ${\displaystyle n}$ — целое, ${\displaystyle z}$ — комплексное число.

${\displaystyle z=Ae^{j\varphi },}$

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда, а ${\displaystyle \varphi }$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

В случаях, когда ${\displaystyle x[n]}$ определена только для ${\displaystyle n\geqslant 0}$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

${\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz,}$

где ${\displaystyle C}$ — контур, охватывающий область сходимости ${\displaystyle X(z)}$. Контур должен содержать все вычеты ${\displaystyle X(z)}$.

Положив в предыдущей формуле ${\displaystyle z=re^{j\varphi }}$, получим эквивалентное определение: ${\displaystyle x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .}$

Область сходимости ${\displaystyle D}$ представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

${\displaystyle D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.}$

Пусть ${\displaystyle x[n]=0{,}5^{n}}$. Раскрывая ${\displaystyle x[n]}$ на интервале ${\displaystyle (-\infty ,\;\infty )}$, получаем

${\displaystyle x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ;\;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}.}$

Смотрим на сумму:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .}$

Поэтому, не существует таких значений ${\displaystyle z}$, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом ${\displaystyle T,}$ представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}.}$

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

${\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}.}$

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось ${\displaystyle j\omega }$ s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной ${\displaystyle j\omega }$, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось ${\displaystyle j\omega }$ находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Обозначения:

• ${\displaystyle \theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.}$ — функция Хевисайда.
• ${\displaystyle \delta [n]=1}$ для ${\displaystyle n=0}$, и ${\displaystyle \delta [n]=0}$ для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).

	Сигнал, ${\displaystyle x[n]}$	Z-преобразование, ${\displaystyle X(z)}$	Область сходимости
1	${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \forall z}$
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle {\frac {1}{z^{n_{0}}}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle \theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle a^{n}\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
5	${\displaystyle na^{n}\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
6	${\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
7	${\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
8	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
9	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
10	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
11	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

• Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.