Модель HJM

Модель или подход Хита-Джарроу-Мортона (HJM , Heath-Jarrow-Morton framework ) - в стохастической финансовой математике представляет собой общую структуру для моделирования эволюции мгновенных форвардных процентных ставок в риск-нейтральной мере в целях обеспечения безарбитражности совместной динамики для различных сроков. Концепция HJM берёт своё начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов.

HJM не является конкретной моделью ставок, а лишь определяет необходимую структуру этих моделей в зависимости от моделирования волатильности форвардных ставок, соответственно, в рамках HJM могут быть получены различные модели. Принципиальный вывод и характерное требование HJM-подхода к моделированию динамики ставок - трендовая составляющая (дрифт) диффузионных моделей форвардных ставок полностью определяется функциями волатильности и не может быть независимым параметром. Поскольку из динамики форвардных ставок можно определить динамику краткосрочной ставки, то из подхода HJM следуют также необходимые условия безарбитражности соответствующих диффузионных моделей краткосрочной ставки. В частности, классическая модель Васичека с постоянными параметрами не удовлетворяет требованиям HJM, однако аналогичная модель с изменяющимся (специальным образом) долгосрочным уровнем уже соответствует HJM (см. Модель Халла-Уайта).

HJM моделирует динамику форвардных ставок и конкретизирует трендовую составляющую именно в риск-нейтральной мере, так как форвардная ставка ${\displaystyle f(t,T)}$ в собственной форвардной мере (то есть в ${\displaystyle T}$-форвардной мере) является мартингалом и в этой мере её трендовая компонента просто нулевая. Рассмотрение форвардных ставок в собственных мерах удобно не всегда - при рассмотрении одновременной динамики различных форвардных ставок желательно их оценивать в единой мере, в качестве которой в HJM выступает риск-нейтральная мера (тем не менее можно записать формулу и для единой форвардной меры). Моделирование совместной динамики дискретных (по т.н. тенорам) форвардных ставок в единой форвардной мере реализовано в модели LMM

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определённым условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает её вычислительно осуществимой.

Общий вид модели в виде стохастического дифференциального уравнения динамики форвардных ставок в риск-нейтральной мере имеет вид:

${\displaystyle df(t,T)=\left({\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)\int _{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)d{\boldsymbol {W}}_{t}={\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)\left[\left(\int _{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)ds\right)dt+d{\boldsymbol {W}}_{t}\right]}$

где ${\displaystyle f(t,T)}$ - процесс мгновенной форвардной ставки для срочности ${\displaystyle T-t}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{t}}$ - многомерный (в общем случае) винеровский процесс (вектор независимых процессов Винера)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,T)}$ - векторный процесс волатильности для соответствующей форвардной ставки.

Как видно, трендовая составляющая (дрифт) процесса ${\displaystyle \mu (t,T)={\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)\int _{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)ds}$ полностью определяется процессом волатильности вполне конкретным способом. Это и есть принципиальная особенностm HJM (по существу - требование безаритражности модели). Поскольку краткосрочная ставка равна ${\displaystyle r_{t}=f(t,t)}$, то это одновременно налагает ограничение и на параметры моделей краткосрочной ставки. Модель краткосрочной ставки в риск-нейтральной мере имеет следующий вид:

${\displaystyle r_{t}=f(t,t)=f(0,t)+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}(u,t)\int _{u}^{t}{\boldsymbol {\sigma }}(u,s)dsdu+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}(u,t)dW_{u}}$

Такой процесс в общем случае не является марковским.

В риск-нейтральной мере безарбитражная динамика стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт-фактор) должна иметь вид:

${\displaystyle dP(t,T)/P(t,T)=r_{t}dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{P}^{T}(t,T)dW_{t}}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{P}(t,T)}$ - вектор волатильности для процесса стоимости дисконтных облигаций,

${\displaystyle r_{t}=f(t,t)}$ - краткосрочная (мгновенная спот-) ставка.

Тогда из формулы Ито следует, что процесс логарифма от цены дисконтной облигации удовлетворяет следующему уравнению:

${\displaystyle d\ln P(t,T)=\left[r_{t}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}_{P}^{T}(t,T){\boldsymbol {\sigma }}_{P}(t,T)\right]dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{P}^{T}(t,T)dW_{t}}$

Тогда, учитывая, что мгновенная форвардная ставка связана с ценой дисконтной облигации как ${\displaystyle f(t,T)=-\partial _{T}\ln P(t,T)}$ получим:

${\displaystyle df(t,T)=\partial _{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{P}^{T}(t,T){\boldsymbol {\sigma }}_{P}(t,T)dt-\partial _{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{P}^{T}(t,T)dW_{t}}$

Обозначив ${\displaystyle \sigma (t,T)=-\partial _{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{P}(t,T)}$ и соответственно ${\displaystyle \sigma _{P}(t,T)=-\int _{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)ds}$, получим

${\displaystyle df(t,T)=\mu (t,T)dt+{\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)dW_{t}}$,

где ${\displaystyle \mu (t,T)={\boldsymbol {\sigma }}^{T}(t,T)\int _{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)ds}$

Это и есть основной результат и требование к моделям в рамках безарбитражного HJM-моделирования динамики ставок.

Наиболее простая HJM-модель может быть получена как однофакторная (один винеровский процесс) модель с постоянной и одинаковой для всех сроков волатильностью ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma }$. Очевидно, в этом случае

${\displaystyle \int _{t}^{T}\sigma ds=\sigma \int _{t}^{T}ds=\sigma (T-t)}$

Тогда для риск-нейтральной динамики мгновенной форвардной ставки имеем:

${\displaystyle df(t,T)=\sigma ^{2}(T-t)dt+\sigma dW_{t}}$

Тогда,

${\displaystyle f(t,T)-f(0,T)=\int _{0}^{t}df(s,T)=\sigma ^{2}\int _{0}^{t}(T-s)ds+\sigma \int _{0}^{t}dW_{s}=-0.5\sigma ^{2}[(T-t)^{2}-T^{2}]+\sigma W_{t}}$

Следовательно

${\displaystyle r_{t}=f(t,t)=f(0,t)+0.5\sigma ^{2}t^{2}+\sigma W_{t}}$

Дифференцируя по t получим оконачательно следующую модель для краткосрочной ставки ввиде стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle dr_{t}=(\partial _{t}f(0,t)+\sigma ^{2}t)dt+\sigma dW_{t}}$

Полученное уравнение соответствует модели Хо-Ли. Таким образом, эта модель краткосрочной ставки соответствует исходной модели форвардных ставок с постоянной волатильностью.

Аналогично можно показать, что экспоненциально убывающая волатильность форвардной ставки ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma e^{-k(T-t)}}$ соответствует модели Халла-Уайта для краткосрочной ставки.

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Халла-Уайта