Spațiu funcțional

În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară

Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este s i n + e x p : R → R {\textstyle sin+exp:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } cu ( s i n + e x p ) ( x ) = s i n ( x ) + e x p ( x ) {\textstyle (sin+exp)(x)=sin(x)+exp(x)}

Fie V un spatiu vectorial peste un corp F și fie X o mulțime. Funcțiile definite pe X cu valori în V pot primi structura de spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice f,g: X → V , orice x din X și orice c din F, se definește

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}
( c ⋅ f ) ( x ) = c ⋅ f ( x ) {\displaystyle (c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)}

Atunci când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul⁠(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este și spațiu vectorial peste F, mulțimea aplicațiilor liniare X → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații pe puncte (adesea notate Hom(X, V)). Un astfel de spațiu este spațiul dual⁠(d) al lui V: mulțimea formelor lineare⁠(d) V → F cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

  • În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y X.
    • Ca un caz special, mulțimea părților⁠(d) unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2X.
  • Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu X ↔ Y {\textstyle X\leftrightarrow Y} . Notatia factorial X! poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi X.
  • În analiza funcțională⁠(d) se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând topologii pe spațiile vectoriale⁠(d), iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach.
  • În analiza funcțională⁠(d) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc spațiu de șir⁠(d). Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X.
  • În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este topologia compactă deschisă⁠(d), cum ar fi spațiul buclă⁠(d). Există și topologia produsului⁠(d) pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) YX. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
  • În topologia algebrică⁠(d), studiul teoriei homotopiei⁠(d) este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
  • În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o măsură de probabilitate⁠(d) pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp);
  • În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește obiect exponențial⁠(d) sau obiect de aplicații⁠(d). Apare într-un fel ca reprezentare a bifunctorului canonic⁠(d); dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca functor adjunct⁠(d) al unui functor de tip (-×X) pe obiecte;
  • În programarea funcțională și calculul lambda⁠(d), tipurile funcțiilor⁠(d) sunt folosite pentru a exprima ideea de funcțională⁠(d).
  • În teoria domeniilor⁠(d), ideea de bază este de a găsi construcții din ordini parțiale⁠(d) care pot să modeleze calculul lambda, creând o categorie carteziană închisă⁠(d) cu comportament favorabil.
  • În teoria reprezentării grupurilor finite⁠(d), date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită reprezentarea Hom⁠(d). [1]

Analiza funcțională

Analiza funcțională⁠(d) este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca spații vectoriale topologice⁠(d) la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

  • Spațiul Schwartz⁠(d) de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și distribuțiile lor temperate⁠(d) duale
  • Spațiul Lp
  • C ( R ) {\textstyle C(\mathbf {R} )} C ( R ) {\displaystyle C(\mathbf {R} )} funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme
  • C C ( R ) {\displaystyle C_{C}(\mathbf {R} )} funcții continue pe suport compact⁠(d)
  • B ( R ) {\displaystyle B(\mathbf {R} )} B ( R ) {\textstyle B(\mathbf {R} )} funcții mărginite
  • C 0 ( R ) {\textstyle C_{0}(\mathbf {R} )} funcții continue care dispar la infinit
  • C r ( R ) {\textstyle C^{r}(\mathbf {R} )} funcții continue cu primele r derivate continue.
  • C ∞ ( R ) {\textstyle C^{\infty }(\mathbf {R} )} funcții indefinit derivabile
  • C C ∞ ( R ) {\displaystyle C_{C}^{\infty }(\mathbf {R} )} funcții indefinit derivabile cu suport compact⁠(d)
  • D ( R ) {\textstyle D(\mathbf {R} )} suport compact pe topologia marginii
  • W k , p {\textstyle W^{k,p}} spațiu Sobolev⁠(d)
  • O U {\textstyle {\mathcal {O}}_{U}} funcții olomorfe
  • funcții liniare
  • funcții liniare pe porțiuni
  • funcții continue, topologie compactă deschisă
  • toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
  • spațiul Hardy⁠(d)
  • spațiul Hölder⁠(d)
  • funcțiile càdlàg function⁠(d), cunoscute și sub numele de spațiul Skorohod⁠(d)

Normă

Dacă y este un element al spațiului funcțional C ( a , b ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)} al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma ‖ y ‖ ∞ {\displaystyle \|y\|_{\infty }} definită pe C ( a , b ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)} este valoarea absolută maximă a lui y (x) pentru a ≤ x ≤ b , [2]

‖ y ‖ ∞ ≡ max a ≤ x ≤ b | y ( x ) | unde     y ∈ C ( a , b ) . {\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{unde}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)\,.}

Note

  1. ^ Fulton, William; Harris, Joe (). Representation Theory: A First Course (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958. 
  2. ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (ed. Unabridged repr.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485. 

Bibliografie

  • Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
  • Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.
Portal icon Portal matematică