Număr Lucas

A nu se confunda cu număr Pell–Lucas.

În matematică, numerele Lucas sau seria Lucas reprezintă un șir de numere întregi numit după matematicianul Édouard Lucas (1842–91), care a studiat atât acest șir, cât și numerele Fibonacci strâns legate. Numerele Lucas și numerele Fibonacci formează instanțe complementare ale seriei Lucas.^[1][2][3]

Numerele Lucas sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Pell: fiecare termen al seriei Lucas fiind egal cu suma celor doi termeni anteriori; ceea ce diferă sunt termenii inițiali ai seriei: ${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$, unde ${\displaystyle L_{0}=2}$ și ${\displaystyle L_{1}=1}$.

Astfel primele câteva numere ale seriei Lucas sunt:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....^[4]

Uneori se consideră că primii doi termeni ai seriei sunt L₀ = 2 și L₁ = 1, ceea ce nu schimbă seria de la termenul 3 în sus.

Un număr Lucas care este și număr prim se numește prim Lucas. Primele 16 numere prime Lucas sunt:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371^[5]

Relația cu numerele Fibonacci

Datorită naturii similare, există mai multe identități între numerele Lucas ${\displaystyle L_{n}}$ și numerele Fibonacci ${\displaystyle F_{n}}$. Printre acestea se numără următoarele:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, și pe măsură ce ${\displaystyle n\,}$ se apropie de +∞, raportul ${\displaystyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$ se apropie de ${\displaystyle {\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$; în particular, ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

Formula lor închisă este dată ca:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

unde ${\displaystyle \varphi }$ este raportul de aur. Alternativ, pentru ${\displaystyle n>1}$ mărimea termenului ${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$ este mai mică de 1/2, ${\displaystyle L_{n}}$ este cel mai apropiat număr întreg de ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ sau, în mod echivalent, partea întreagă a lui ${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$, scrisă și ca ${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$.

Combinând cele de mai sus cu formula lui Binet,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

se obține o formulă pentru ${\displaystyle \varphi ^{n}}$:

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Note

Vezi și

• Listă de numere