Normală

În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul P este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în P. Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată la varietăți diferențiabile^⁠(d) de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul P este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu spațiul tangent^⁠(d) în P. Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.

Distanța normală a unui punct Q la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre Q și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul P de pe obiect a cărui normală conține Q).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensional

Calculul normalei la o suprafață

Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuația ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ vectorul ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ este normal.^[1][2]

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$

unde ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ este un punct din plan, iar ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii ${\displaystyle \mathbf {p} }$ și ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ care poate fi calculat prin produsul vectorial ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$^[2][3]

Dacă o suprafață (nu neapărat plană) ${\displaystyle S}$ în spațiul tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ cu ${\displaystyle s}$ și ${\displaystyle t}$ variabile reale, atunci o normală la S este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$

Dacă suprafața ${\displaystyle S}$ este dată sub formă implicită^⁠(d) ca un set de puncte ${\displaystyle (x,y,z)}$ care satisfac ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ atunci o normală într-un punct ${\displaystyle (x,y,z)}$ de pe suprafață este dată de gradientul

${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)}$

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului ${\displaystyle S}$.

Pentru suprafața ${\displaystyle S}$ din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ care este graficul funcției ${\displaystyle z=f(x,y),}$ o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$ dând

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$

sau mai simplu din forma sa implicită ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ rezultând

${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală aproape peste tot^⁠(d).

Alegerea normalei

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiul n-dimensional

La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dat de reprezentarea sa parametrică

${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$

unde ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ un punct pe hiperplan, iar ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ pentru ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector ${\displaystyle \mathbf {n} }$ din nucleul matricei ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$ unde ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$ Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$ atunci vectorul ${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele (n−1)-dimensionale din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ care satisfac o ecuație ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$ unde ${\displaystyle F}$ este o funcție scalară. Dacă ${\displaystyle F}$ este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:

${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$

Dreapta normală este un subspațiu unidimensional cu baza ${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Note

Legături externe

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Normal Vector la MathWorld.
• en An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
• en Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.