Teorema da concordância de Aumann

O teorema da concordância de Aumann foi declarado e provado pelo economista Robert Aumann em um artigo intitulado "Agreeing to Disagree", ^[1] que introduziu a descrição teórica do conjunto de conhecimento comum. O teorema diz respeito a agentes que compartilham uma crença anterior comum e atualizam suas crenças probabilísticas pela regra de Bayes. Afirma que se as crenças probabilísticas de tais agentes, em relação a um evento fixo, são de conhecimento comum, então essas probabilidades devem coincidir. Assim, os agentes não podem concordar em discordar, ou seja, ter conhecimento comum de uma discordância sobre a probabilidade posterior de um determinado evento.

O teorema

O modelo usado por Auman ^[1] para provar o teorema consiste em um conjunto finito de estados ${\displaystyle S}$ com uma probabilidade anterior ${\displaystyle p}$, que é comum a todos os agentes. O conhecimento do agente ${\displaystyle a}$ é dado por uma partição ${\displaystyle \Pi _{a}}$ de ${\displaystyle S}$. A probabilidade posterior do agente ${\displaystyle a}$, denotada ${\displaystyle p_{a}}$, é a probabilidade condicional de ${\displaystyle p}$ dado ${\displaystyle \Pi _{a}}$. Fixe um evento ${\displaystyle E}$ e deixe ${\displaystyle X}$ ser o evento que para cada ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p_{a}(E)=x_{a}}$. O teorema afirma que se o evento ${\displaystyle C(X)}$ que ${\displaystyle X}$ é de conhecimento comum não está vazio, então todos os números ${\displaystyle x_{a}}$ são os mesmos. A prova decorre diretamente da definição de conhecimento comum. O evento ${\displaystyle C(X)}$ é uma união de elementos de ${\displaystyle \Pi _{a}}$ para cada ${\displaystyle a}$. Assim, para cada ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p(E|C(x))=x_{a}}$. A afirmação do teorema segue uma vez que o lado esquerdo é independente de ${\displaystyle a}$. O teorema foi provado para dois agentes, mas a prova para qualquer número de agentes é similar.

Extensões

Monderer e Samet relaxaram a suposição de conhecimento comum e presumiram, em vez disso, conhecimento comum ${\displaystyle p}$-crença nos posteriores dos agentes. ^[2] Eles deram um limite superior da distância entre os posteriores ${\displaystyle x_{a}}$. Este limite se aproxima de 0 quando ${\displaystyle p}$ se aproxima de 1.

Referências