Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.^[1]

Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.^[2]

Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}\right)}$

Razão de semelhança

Sendo ${\displaystyle k}$ a razão de semelhança entre os lados homólogos, temos:

${\displaystyle {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}$.

Então chamamos ${\displaystyle k}$ de razão de semelhança entre dois triângulos.

Observe também que, se ${\displaystyle k=1}$, os triângulos são congruentes.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

• Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {ABC}}$

• Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {RST}\sim \triangle {ABC}}$

• Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\quad {\text{e}}\quad \triangle {RST}\sim \triangle {XYZ}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {XYZ}}$

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.

Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.

1° Parte: Ângulos congruentes

Tem-se, por hipótese que ${\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}$.

Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:

${\displaystyle {\hat {D}}\equiv {\hat {B}}}$ e ${\displaystyle {\hat {E}}\equiv {\hat {C}}}$, pois são ângulos correspondentes.

O ângulo ${\displaystyle {\hat {A}}}$ é comum aos dois triângulos.

Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.

2° Parte: Lados homólogos proporcionais

Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.

Fazendo isso, pode-se observar a relação:

${\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}}$

É possível construir uma paralela a ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$ que passe por ${\displaystyle E}$.

Assim, essa paralela interceptará ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ em um ponto ${\displaystyle F}$.

Essa construção garante que: ${\displaystyle {\overleftrightarrow {EF}}//{\overleftrightarrow {AB}}}$

Logo o quadrilátero ${\displaystyle BDEF}$ é um paralelogramo.

Sendo assim: ${\displaystyle {\overline {DE}}\equiv {\overline {BF}}}$ e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BF}}}$ .

Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com ${\displaystyle {\overleftrightarrow {EF}}}$ e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$ sendo paralelas e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}}}$ transversais) obtêm-se:

${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {BF}{BC}}}$

Como ${\displaystyle DE=BF}$, pode-se escrever:

${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}}$

Logo:

${\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}}$

E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.

Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.

Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Casos ou critérios de semelhança

1° Caso

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

Demonstração

Queremos demonstrar que, para dois triângulos ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$, vale:

${\displaystyle {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}}$

Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que ${\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}}$

Seja ${\displaystyle D}$ um ponto de ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ tal que ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}}$ e seja o triângulo ${\displaystyle ADE}$ com ${\displaystyle {\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}}$ e ${\displaystyle E}$ no lado ${\displaystyle {\overline {AC}}}$.

Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:

${\displaystyle {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}\quad (ALA)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}}$

Observe que, como ${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}}$ (por hipótese) e ${\displaystyle {\hat {B'}}\equiv {\hat {D}}}$ (por construção), tem-se que ${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {D}}}$, o que implica ${\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}$.

Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que ${\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}$ implica ${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {ADE}}$.

Visto que ${\displaystyle \triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}}$, vale que ${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}}$.

Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.

2° Caso

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.

3° Caso

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.

Propriedades notáveis

Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é ${\displaystyle k}$, vale:^[2]

• a razão entre os perímetros é ${\displaystyle k}$;
• a razão entre as alturas homólogas é ${\displaystyle k}$;
• a razão entre as medianas homólogas é ${\displaystyle k}$;
• a razão entre as bissetrizes internas homólogas é ${\displaystyle k}$;
• a razão entre os raios dos círculos inscritos é ${\displaystyle k}$;
• a razão entre os raios dos círculos circunscritos é ${\displaystyle k}$.

Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é ${\displaystyle k}$.

Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é ${\displaystyle k^{2}}$

Demonstrações

Demonstrações das propriedades anteriores.

Razão entre os perímetros

Se dois triângulos são semelhantes de razão ${\displaystyle k}$, então a razão entre os perímetros também é ${\displaystyle k}$.

Assim, seja os triângulos ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$, temos:

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}$.

Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma: ${\displaystyle {\begin{cases}a=a'.k\\b=b'.k\\c=c'.k\end{cases}}}$

Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:

${\displaystyle p=a+b+c}$ (perímetro de ${\displaystyle \triangle {ABC}}$)

${\displaystyle p'=a'+b'+c'}$ (perímetro de ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$)

Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:

${\displaystyle {\frac {p}{p'}}={\frac {a+b+c}{a'+b'+c'}}={\frac {a'.k+b'.k+c'.k}{a'+b'+c'}}={\frac {k.(a'+b'+c')}{a'+b'+c'}}=k}$

Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.

Razão entre as alturas

Se dois triângulos são semelhantes de razão ${\displaystyle k}$, então a razão entre as alturas também é ${\displaystyle k}$.

Por hipótese, tem-se:

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k\quad {\text{e}}\quad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}}$

Seja o segmento ${\displaystyle {\overline {CH}}}$ altura relativa ao vértice ${\displaystyle C}$ em ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e o segmento ${\displaystyle {\overline {C'H'}}}$ altura relativa ao vértice ${\displaystyle C'}$ em ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$, tem-se:

${\displaystyle C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }}$

Como ${\displaystyle C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }}$ e ${\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}}$, temos que ${\displaystyle \triangle {CHB}\sim \triangle {C'H'B'}}$.

Dessa semelhança, obtêm-se:

${\displaystyle {\frac {a}{a'}}={\frac {CH}{C'H'}}={\frac {HB}{H'B'}}}$

Como ${\displaystyle CH=h}$, ${\displaystyle C'H'=h'}$ e ${\displaystyle {\frac {a}{a'}}=k}$, pode-se escrever:

${\displaystyle {\frac {h}{h'}}=k}$.

Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.

Razão entre as áreas

Se dois triângulos são semelhantes de razão ${\displaystyle k}$, então a razão entre as áreas é ${\displaystyle k^{2}}$.

Assim, seja os triângulos ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$, temos:

${\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}$

Sendo ${\displaystyle h}$ a medida da altura relativa ao lado ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ de ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ e ${\displaystyle h'}$ a medida da altura relativa ao lado ${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ de ${\displaystyle \triangle {A'B'C'}}$, temos também que:

${\displaystyle {\frac {h}{h'}}=k}$.

Observe também que ${\displaystyle {\overline {AB}}=c}$ e ${\displaystyle {\overline {A'B'}}=c'}$.

Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:

${\displaystyle {\frac {A_{ABC}}{A_{A'B'C'}}}={\frac {\frac {c.h}{2}}{\frac {c'.h'}{2}}}={\frac {c.h}{2}}.{\frac {2}{c'.h'}}={\frac {c}{c'}}.{\frac {h}{h'}}=k.k=k^{2}}$

Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.