Número esfênico

Um número esfênico (do grego antigo σφήνα) é um número inteiro positivo que é o produto de três fatores primos distintos. A função de Möbius retorna -1 para todo número esfênico. ^[1]

Note que essa definição é mais restringente que se exigisse simplesmente que o inteiro tivesse exatamente três fatores primos; exemplo: 60 = 2² × 3 × 5 tem exatamente 3 fatores primos, mas não é esfênico.

Todos os números esfênicos têm exatamente oito divisores. Se o número esfênico for expresso como ${\displaystyle n=x\cdot y\cdot z}$, então seus divisores serão (possivelmente não ordenados):

${\displaystyle \left\{1,\ x,\ y,\ z,\ xy,\ xz,\ yz,\ n\right\}}$

Os primeiros números esfênicos são: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, ... (sequência A007304 na OEIS)

Números esfênicos consecutivos

O menor par de números consecutivos esfênicos é (230, 231), uma vez que 230 = 2×5×23 e 231 = 3×7×11. A menor tripla de números consecutivos esfênicos é (1309, 1310, 1311), já que 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131, e 1311 = 3×19×23. Não existe uma sequência de números esfênicos consecutivos com mais de 3 elementos. Em outras palavras, para cada n-upla (lê-se ênupla) ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})}$:

• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ podem ser esfênicos se e somente se ${\displaystyle n=2}$ ou ${\displaystyle n=3}$;

• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ não são esfênicos ${\displaystyle \forall \ n\geq 4.}$

As primeiras triplas de números esfênicos são:

(1309, 1310, 1311), (1885, 1886, 1887), (2014, 2015, 2016), (2665, 2666, 2667), ... (sequência A165936 na OEIS)

Maior número esfênico conhecido

Uma vez que existem infinitos números primos, também existem infinitos números esfênicos.

O maior número esfênico conhecido é ^[2]

(2^74.207.281 − 1) × (2^57.885.161 − 1) × (2^43.112.609 − 1).

Produto dos três maiores números primos conhecidos. Foi definido em janeiro de 2016.

Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

Caso 1 -

Sejam dois números consecutivos ${\displaystyle A,B}$ com ${\displaystyle A>B}$ e de paridade par.

A divisão ${\displaystyle A/B=1+1/B}$ e a outra divisão ${\displaystyle B/A=1-1/A}$

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números, com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a decomposição única do número ${\displaystyle 10}$ é ${\displaystyle 10=2.5}$ , então a fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$ pois ${\displaystyle B}$ é um número de paridade impar.

A fração ${\displaystyle 1/A}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}.a^{n}}$ onde ${\displaystyle a=10}$ .

A expressão ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre no número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 26}$ exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=6}$ , e o número ${\displaystyle A}$, terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita.

Como os números da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ com o algarismo ${\displaystyle 6}$ na última posição são sempre terminados em ${\displaystyle 16,56,96,36,76}$, jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo ${\displaystyle 25,26}$ e com a propriedade de serem da forma ${\displaystyle 5^{n},2^{m}}$ .

Esta divisão é aplicada na solução para o Ultimo Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal.

Caso 2

Sejam dois números consecutivos ${\displaystyle B,A}$ com ${\displaystyle B>A}$ e de paridade impar.

A divisão ${\displaystyle B/A=1+1/A}$ e a outra divisão ${\displaystyle A/B=1-1/B}$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a composição única do número ${\displaystyle 10}$ é ${\displaystyle 10=2.5}$ , então a fração ${\displaystyle 1/A}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}}$ .

A fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$

A expressão ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre no número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 24}$ , exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=4}$ , e o número ${\displaystyle A}$ terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$, onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita. O valor de ${\displaystyle A}$ só termina em ${\displaystyle 24}$ , para ${\displaystyle m=10,30,50,70,90,110...}$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em ${\displaystyle 25}$ é da forma ${\displaystyle 5^{n}}$., impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em ${\displaystyle 24,25}$ que sejam da forma ${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$.

Ligações externas

da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, em inglês.

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Referências

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