Função mensurável

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.^{[1] [2]}

Definição

Seja ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ uma função, onde ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})\,}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {N}})\,}$ são espaços mensuráveis. Uma função é dita ${\displaystyle ({\mathfrak {N}},{\mathfrak {M}})}$-mensurável se

${\displaystyle f^{-1}(E)\in {\mathfrak {M}},~~\forall E\in {\mathfrak {N}}\,}$,

isto é, se a pré-imagem de todo conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$-mensurável é ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-mensurável.

Função Borel mensurável

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos ${\displaystyle {\mathfrak {N}}\,}$ como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ uma função, onde ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})\,}$ é um espaço mensurável e ${\displaystyle (Y,\tau )\,}$ é um espaço topológico. Uma função é dita Borel-${\displaystyle {\mathfrak {M}}\,}$-mensurável se:

${\displaystyle f^{-1}(O)\in {\mathfrak {M}},~~\forall O\in \tau \,}$

Função Borel-Lebesgue mensurável

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando ${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\mathfrak {L}}\,}$, a σ-álgebra de Lebesgue e ${\displaystyle {\mathfrak {N}}={\mathfrak {B}}\,}$, a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável

É costume representar uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ pelas suas componente no contra-domínio:

${\displaystyle f(x)=\left(f^{1}(x),f^{2}(x),\ldots ,f^{n}(x)\right)\,}$

Pode-se mostrar que ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das ${\displaystyle f^{k}:D\to \mathbb {R} \,}$ é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades

Sejam ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ e ${\displaystyle g:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde ${\displaystyle D\,}$ é um conjunto mensurável de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}$ e ${\displaystyle \alpha \,}$ e ${\displaystyle \beta \,}$ reais então:

• ${\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\,}$ é mensurável
• ${\displaystyle f(x)g(x):=\left(f^{1}(x)g^{1}(x),f^{2}(x)g^{2}(x),\ldots f^{n}(x)g^{n}(x)\right)\,}$ é mensurável
• ${\displaystyle f(x+\lambda )\,}$ é mensurável para todo ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}$
• Se ${\displaystyle h:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ e ${\displaystyle \mu \left(\left\{f(x)=h(x)\right\}\right)\,}$ então ${\displaystyle h\,}$ é mensurável.
• Se ${\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}$ são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.

Referências

Ver também

O wikilivro Medida e integração tem uma página intitulada Mensurabilidade