Função característica (probabilidade)

Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)}$

quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um.

Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx.}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\sum _{x}e^{itx}p_{X}(x).}$

Através da Fórmula de Euler, podemos escrever:

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sen} \left(x\right),}$

E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }cos{(tx)}f_{X}(x)dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sen{(tx)}f_{X}(x)dx.}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\sum _{x}cos{(tx)}p_{X}(x)dx+i\sum _{x}sen{(tx)}p_{X}(x)dx.}$

A função característica ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ existe para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$ A função característica ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ é também chamada de Transformada de Fourier de f .

Definição formal

Se X é uma variável aleatória simples, então ^[1]

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,t\in \mathbb {R} }$ arbitrário.

Propriedades

Cada uma das funções ${\displaystyle x\rightarrow \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)}$ é contínua e limitada^[2].

Exemplos de usos

• (Teorema da continuidade de Lévy) Sejam ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X}$ vetores aleatórios em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ Então

${\displaystyle X_{n}}$ converge em distribuição para ${\displaystyle X}$ se e somente se ${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX_{n}}\right)}$ ${\displaystyle \rightarrow \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}}$ é contínua e limitada^[3].

Ver também

• Funções características de variáveis aleatórias (em inglês)

Referências

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• Portal de probabilidade e estatística