Espaços normados

Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.

O conceito foi proposto por Stefan Banach^[1], Hans Hahn^[2] e Norbert Wiener^[3], de maneira independente, em 1922.

Definição

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial real ou complexo. Uma função ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert :X\to \mathbb {R} }$ é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.^[4]

1. ${\displaystyle \lVert x\rVert \geq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle \lVert x\rVert =0\Leftrightarrow x=0}$ (Positividade e não degenerescência);
2. ${\displaystyle \lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\lVert x\rVert }$ para todos ${\displaystyle \alpha }$ escalares e ${\displaystyle x\in X}$ (Homogeneidade);
3. ${\displaystyle \lVert x+y\rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ para todos ${\displaystyle x,\,y\in X}$ (Desigualdade triangular).

Nesse caso, ${\displaystyle X}$ é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que

${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X}$

define uma métrica em ${\displaystyle X\,}$, fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.^[4]

As operações de soma ${\displaystyle +}$ e produto por escalar ${\displaystyle \cdot }$ são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.^[4]

Exemplos de Espaços Normados

1) O espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ munido da norma euclidiana

${\displaystyle \lVert x\rVert :=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{2}\right)^{1/2}}$,

onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

2) O espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ munido da norma-${\displaystyle p}$

${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$,

onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle p\in [1,\infty ).}$

3) O espaço vetorial ${\displaystyle \ell _{p}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}}$ das sequências ${\displaystyle p-}$somáveis, munido da norma

${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$.

Métricas induzidas

Se um espaço vetorial ${\displaystyle X}$ é normado, a função ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ definida por

${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X}$

é uma métrica em ${\displaystyle X}$, chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se ${\displaystyle X}$ é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz

${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)}$ e

${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

para todos ${\displaystyle x,y,z\in X}$ e ${\displaystyle \alpha }$ escalar, então existe uma norma ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ em ${\displaystyle X}$ que induz a métrica ${\displaystyle d}$. A dizer,

${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0),\quad \forall x\in X}$.

Operadores lineares limitados

Sejam ${\displaystyle X,\,Y}$ espaços normados e ${\displaystyle T:X\to Y}$ um operador linear. Dizemos que ${\displaystyle T}$ é limitado se existe ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \lVert Tx\rVert \leq c\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X\,}$.

Nesse caso, definimos a norma de operador de ${\displaystyle T}$ por

${\displaystyle \lVert T\rVert :=\sup _{x\neq 0}{\frac {\lVert Tx\rVert }{\lVert x\rVert }}=\sup _{\lVert x\rVert =1}{\lVert Tx\rVert }}$.^[5]

O conjunto dos operadores limitados ${\displaystyle X\to Y}$, geralmente denotado ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$, é um subespaço do conjunto dos operadores lineares ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ e a norma de operador é de fato uma norma em ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$. Caso ${\displaystyle Y}$ seja um espaço de Banach, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$ também é um espaço de Banach.^[5] Em particular, o dual topológico ${\displaystyle X^{*}:={\mathcal {B}}(X,\mathbb {K} )}$ de qualquer espaço normado ${\displaystyle X\,}$é completo.

As seguintes afirmações a respeito do operador linear ${\displaystyle T:X\to Y}$ são equivalentes^[4][5]:

• ${\displaystyle T}$ é limitado;
• ${\displaystyle T}$ é contínuo;
• ${\displaystyle T}$ é contínuo em um ponto ${\displaystyle x_{0}\in X}$;
• ${\displaystyle T}$ é uniformemente contínuo;
• ${\displaystyle T}$ é Lipschitziano;
• ${\displaystyle \lVert T\rVert <\infty }$;
• ${\displaystyle T}$ leva conjuntos limitados (em ${\displaystyle X}$) em conjuntos limitados (em ${\displaystyle Y}$).

Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.

Se um operador linear ${\displaystyle T:X\to Y}$ é bijetor e tal que

${\displaystyle \lVert Tx\rVert =\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X}$,

${\displaystyle T}$ é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são isomorfos.

Exemplos

1) Dado ${\displaystyle X}$ espaço normado, a identidade ${\displaystyle id_{x}:X\to X}$ é um operador linear limitado.

2) Dado o espaço ${\displaystyle \ell _{p}}$, considere as funções ${\displaystyle S_{r}:\ell _{p}\to \ell _{p}}$ e ${\displaystyle S_{l}:\ell _{p}\to \ell _{p}}$ dadas por

${\displaystyle S_{r}(x):=(0,x_{1},x_{2},...,x_{n},...)}$ e ${\displaystyle S_{l}(x):=(x_{2},x_{3},...,x_{n},...)}$,

onde ${\displaystyle x:=(x_{1},x_{2},...,x_{n},...)\in \ell _{p}.}$ Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.

3) O operador diferencial ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:C^{1}[a,b]\to C^{0}[a,b]}$, dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(f):[a,b]&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto {\frac {df}{dx}}(x)\end{aligned}}}$

constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.

Normas equivalentes

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial e ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ duas normas nele. Caso ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.

Duas normas ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}}$ são equivalentes se, e somente se, existem ${\displaystyle A,B>0}$ tais que

${\displaystyle A\lVert x\rVert _{1}\leq \lVert x\rVert _{2}\leq B\lVert x\rVert _{1},\quad \forall x\in X}$.^[5]

Além disso, as sequências de Cauchy em ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{1})}$ e ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{2})}$ são as mesmas.^[5] Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {id} :(X,\lVert \cdot \rVert _{1})&\to (X,\lVert \cdot \rVert _{2})\\x&\mapsto x\end{aligned}}}$

é um isomorfismo entre espaços normados.

Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.^[5]

Exemplos de Normas Equivalentes

1) Dados ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$, tem-se que as normas ${\displaystyle \lVert x\rVert _{p}}$ e ${\displaystyle \lVert x\rVert _{q}}$, quando definidas em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, são equivalentes. Aqui,

${\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }:={\underset {1\leq k\leq n}{\sup }}|x_{k}|}$, onde ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.

Norma canônica de um espaço vetorial

Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.

Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\,\mathbb {C} }$ possui uma base (de Hamel) ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$. Por definição, isso significa que todo vetor ${\displaystyle v\in V}$ pode ser decomposto unicamente por

${\displaystyle v=\sum _{j\in J}\alpha _{j}e_{j}}$,

onde ${\displaystyle J\subseteq I}$ é finito e ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {K} ,\,\forall j\in J}$. Define-se então

${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \cdot \rVert :V&\to \mathbb {R} \\v&\mapsto \lVert v\rVert :=\max _{j\in J}|\alpha _{j}|\,.\end{aligned}}}$

Tal função é de fato uma norma em ${\displaystyle V}$, chamada de norma canônica.

Referências