, se (onde é o conjunto das unidades de ) e temos que irredutíveis tal que .
Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a .
Exemplos
O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que é associado a temos:
, se e temos que irredutíveis tal que .
Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a (isto é, como é primo então ou ).
Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial
Unidades e D*
Ver artigo principal: Unidade (teoria dos anéis)
Seja um anel comutativo, é unidade, então tal que . O elemento é chamado de elemento inverso de .
é o conjunto de todas as unidades de . Logo é unidade, então .
Seja a identidade. Como , então é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
Seja um corpo. , é unidade. Logo .
Seja .
1, -1 são unidades.
Como e . Então tal que , não é unidade.
.
Divisão para anéis e elementos associados
Sejam um anel comutativo e , (i. é divide) se , tal que . E ainda, são associados se e .
Seja um anel comutativo. Um elemento é irredutivel se , se e se com então ou é unidade.
Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que é primo se , e se com então ou .
Seja um domínio e primo. Seja . Sem perda de generalidade, seja tal que . Como , então é unidade. Logo p é irredutivel.
Seja . é um domínio, são irredutíveis, mas não são primos já que .
Referências
Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)
Ligações externas
Eric Campos Bastos Guedes; DOMÍNIO FATORIAL - mathfire.sites.uol.com.br
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