Distribuição log-normal

A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.
A função distribuição acumulada da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

Em probabilidade e estatística, uma variável aleatória é uma distribuição de probabilidade, cujo logaritmo é normalmente distribuído. Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo Y = log ⁡ ( X ) {\displaystyle Y=\log(X)\,} tem a distribuição normal. Logo, sua função de densidade é

f ( x ; μ , σ ) = 1 x σ 2 π exp ⁡ [ − ( ln ⁡ ( x ) − μ ) 2 2 σ 2 ] {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}

A importância da distribuição log-normal se deve a um resultado análogo ao Teorema do Limite Central: assim como uma distribuição normal aparece quando são somadas várias variáveis independentes (para ver o enunciado mais preciso, consulte o artigo sobre o teorema), a distribuição log-normal aparece naturalmente como o produto de várias variáveis independentes (sempre positivas).

Por exemplo, em Finanças, o preço de uma ação no futuro pode ser modelado como o efeito de vários pequenos ajustes independentes, ou seja:

P n = P 0 × ( 1 ± ϵ 1 ) × … × ( 1 ± ϵ n ) {\displaystyle P_{n}=P_{0}\times (1\pm \epsilon _{1})\times \ldots \times (1\pm \epsilon _{n})\,}

Ou seja, aplicando o log, temos que log ⁡ P n {\displaystyle \log P_{n}\,} é a soma de várias variáveis aleatórias independentes, ou seja, pode ser aproximado por uma distribuição normal - portanto Pn pode ser aproximado por uma log-normal.

Média

O valor esperado de X = exp ⁡ ( Y ) {\displaystyle X=\exp(Y)\,} , quando Y é uma variável aleatória normal, vale:

E ( X ) = E ( exp ⁡ ( Y ) ) = exp ⁡ ( E ( Y ) + 0.5 var ( Y ) ) {\displaystyle E(X)=E(\exp(Y))=\exp(E(Y)+0.5{\mbox{var}}(Y))\,}

em que var ( Y ) {\displaystyle {\mbox{var}}(Y)\,} é a variância de Y.

Variância

A variância da log-normal também pode ser expressa em função da normal. Sendo X = exp ⁡ ( Y ) {\displaystyle X=\exp(Y)\,} e Y normal, temos:

var ( X ) = exp ⁡ ( 2 E ( Y ) + var ( Y ) ) ( exp ⁡ ( var ( Y ) ) − 1 ) {\displaystyle {\mbox{var}}(X)=\exp(2E(Y)+{\mbox{var}}(Y))(\exp({\mbox{var}}(Y))-1)\,}

Fórmulas inversas

Seja X = exp ⁡ ( Y ) {\displaystyle X=\exp(Y)\,} , então a média e variância de Y podem ser expressas em função da média e variância de X como:

E ( Y ) = ln ⁡ ( E ( X ) ) − 1 2 ln ⁡ ( 1 + var ( X ) ( E ( X ) ) 2 ) , {\displaystyle E(Y)=\ln(E(X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {{\mbox{var}}(X)}{(E(X))^{2}}}\right),}
Var ( Y ) = ln ⁡ ( Var ( X ) ( E ( X ) ) 2 + 1 ) . {\displaystyle {\mbox{Var}}(Y)=\ln \left({\frac {{\mbox{Var}}(X)}{(E(X))^{2}}}+1\right).}

Ligações externas

  • Calculadora - Distribuição log-normal
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