Tożsamość Apoloniusza

Tożsamość Apoloniusza – tożsamość zachodząca w przestrzeniach prehilbertowskich.

Jeśli x , y , z {\displaystyle x,y,z} są wektorami przestrzeni prehilbertowską, to zachodzi równość:

| | w − u | | 2 + | | w − v | | 2 = 1 2 | | u − v | | 2 + 2 | | w − 1 2 ( u + v ) | | 2 . {\displaystyle ||w-u||^{2}+||w-v||^{2}={\frac {1}{2}}||u-v||^{2}+2||w-{\frac {1}{2}}(u+v)||^{2}.}

Dowód

Przyjmując x = w − 1 2 ( u + v ) {\displaystyle x=w-{\frac {1}{2}}(u+v)} oraz y = 1 2 ( u − v ) , {\displaystyle y={\frac {1}{2}}(u-v),} otrzymujemy x + y = w − v , {\displaystyle x+y=w-v,} x − y = w − u . {\displaystyle x-y=w-u.} Wyciągając skalar 1 4 = ( 1 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}=({\frac {1}{2}})^{2}} przed pierwszą normę po prawej stronie, tezę otrzymujemy z tożsamości równoległoboku.

Interpretacja geometryczna

Ilustracja dowodu tożsamości Apoloniusza

W trójkącie ABC suma kwadratów dwóch boków trójkąta (AC i BC) jest równa sumie połowy kwadratu trzeciego boku (AB) i podwojonemu kwadratowi środkowej (CD) padającej na ten bok.

Również dowód można zinterpretować geometrycznie jako rozważenie równoległoboku DBC'C powstałego przez przesunięcie środkowej o odcinek DB. Wówczas ze względu na podobieństwo trójkątów A C = D C ′ . {\displaystyle AC=DC'.}