Styczna

Prosta styczna ${\displaystyle s}$ do krzywej ${\displaystyle K}$ w punkcie ${\displaystyle P}$ to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych ${\displaystyle s_{k}}$ przechodzących przez punkty ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle P_{k},}$ gdy punkt ${\displaystyle P_{k}}$ dąży (zbliża się) do punktu ${\displaystyle P}$ po krzywej ${\displaystyle K}$^[1].

Definicje i wzory

Niech punkt ${\displaystyle Q}$ będzie rzutem punktu ${\displaystyle P}$ na oś ${\displaystyle x}$ i niech styczna ${\displaystyle s}$ przecina oś ${\displaystyle x}$ w punkcie ${\displaystyle R}$ zaś prosta ${\displaystyle n}$ będąca normalną do krzywej ${\displaystyle K}$ przecina oś ${\displaystyle x}$ w punkcie ${\displaystyle T.}$ Odcinek skierowany ${\displaystyle RQ}$ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany ${\displaystyle |QT|}$ – podnormalną. Długość ${\displaystyle |PR|}$ nazywa się długością stycznej, zaś ${\displaystyle |PT|}$ – długością normalnej.

Jeśli krzywa ${\displaystyle K}$ określona jest w pewnym przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ funkcją ${\displaystyle y=f(x)}$ ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną ${\displaystyle f',}$ to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały ${\displaystyle P(x_{0},y_{0}),}$ gdzie ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ oraz punkt zmienny ${\displaystyle P(x_{k},y_{k}),}$ gdzie ${\displaystyle y_{k}=f(x_{k})}$ ma postać:

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{k}-y_{0}}{x_{k}-x_{0}}}(x-x_{0}),}$

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ma postać:

${\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0}).}$

Wówczas odcięte punktów ${\displaystyle Q,R}$ i ${\displaystyle T}$ są odpowiednio równe: :${\displaystyle x_{0},\quad x_{0}-{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}},\quad x_{0}+y_{0}f'(x_{0}).}$

Długość stycznej określa wówczas wzór:

${\displaystyle |PR|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}},}$

zaś długość normalnej:

${\displaystyle |PT|=\left|y_{0}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}}.}$

Mamy również

• podstyczna: ${\displaystyle |RQ|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|,}$
• podnormalna: ${\displaystyle |QT|=\left|y_{0}f'(x_{0})\right|.}$

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręgu

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii^[2][3][4])

Niech punkty ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ będą punktami styczności do okręgu ${\displaystyle o}$ dwóch prostych przecinających się w punkcie ${\displaystyle A.}$ Wówczas ${\displaystyle |AB|=|AC|.}$

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa ${\displaystyle \pi ,}$ kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też

• metoda stycznych
• wektor styczny do krzywej i powierzchni

Przypisy