Punkt skupienia zbioru

Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru A {\displaystyle A} przestrzeni topologicznej T1 taki punkt p , {\displaystyle p,} dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający p {\displaystyle p} zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru A {\displaystyle A} różny od p , {\displaystyle p,} tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu p {\displaystyle p} ze zbiorem A {\displaystyle A} jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].

Własności

  • Punkt p {\displaystyle p} jest punktem skupienia zbioru A {\displaystyle A} wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru A { p } {\displaystyle A\setminus \{p\}} [1].
  • W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt p {\displaystyle p} jest punktem skupienia zbioru A {\displaystyle A} wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru A { p } {\displaystyle A\setminus \{p\}} [1][2].

Związane pojęcia

  • Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt p {\displaystyle p} należący do zbioru A {\displaystyle A} jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru A {\displaystyle A} różnych od p . {\displaystyle p.}
  • Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu p {\displaystyle p} znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru A , {\displaystyle A,} to punkt p {\displaystyle p} nazywamy punktem kondensacji zbioru A . {\displaystyle A.} Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).
  • Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt x 0 A {\displaystyle x_{0}\in A} jest lewostronnym punktem skupienia zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli jest punktem skupienia zbioru A ( x , x 0 ) {\displaystyle A\cap (x,x_{0})} dla pewnego x < x 0 . {\displaystyle x<x_{0}.} Podobnie punkt x 0 A {\displaystyle x_{0}\in A} jest prawostronnym punktem skupienia zbioru A , {\displaystyle A,} jeśli jest punktem skupienia zbioru A ( x 0 , x ) {\displaystyle A\cap (x_{0},x)} dla pewnego x > x 0 . {\displaystyle x>x_{0}.}
  • Punktem skupienia ciągu ( x n ) n = 1 {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu ( x n ) n = 1 . {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }.} Innymi słowy, p {\displaystyle p} jest punktem skupienia ( x n ) n = 1 , {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty },} gdy dowolne otoczenie otwarte p {\displaystyle p} zawiera pewien element ciągu x n . {\displaystyle x_{n}.} Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg x n = 0 {\displaystyle x_{n}=0} dla n {\displaystyle n} nieparzystych i x n = n {\displaystyle x_{n}=n} dla n {\displaystyle n} parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg x 1 = 1 , {\displaystyle x_{1}=1,} x n = 2 {\displaystyle x_{n}=2} dla n 2 , {\displaystyle n\geqslant 2,} jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu x n {\displaystyle x_{n}} to { 1 , 2 } , {\displaystyle \{1,2\},} czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej R {\displaystyle \mathbb {R} } ).

Przykłady

  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
  • Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} oraz ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} jest przedział [ 0 , 1 ] . {\displaystyle [0,1].} Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
  • Zbiór { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
  • Jedynym punktem skupienia zbioru { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , } {\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots \}} jest 0 , {\displaystyle 0,} wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
  • Jedynymi punktami skupienia zbioru { 1 / 4 , 3 / 4 , 1 / 5 , 4 / 5 , 1 / 6 , 5 / 6 , 1 / 7 , 6 / 7 , } {\displaystyle \{1/4,3/4,1/5,4/5,1/6,5/6,1/7,6/7,\dots \}} 0 {\displaystyle 0} i 1 , {\displaystyle 1,} pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też

Przypisy

  1. a b c Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 48.
  2. Punkt skupienia, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-28] .
Encyklopedie internetowe (adherent point):