Nierówność wariacyjna

Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana^[1].

Definicja formalna

Dla danej przestrzeni Banacha ${\displaystyle E,}$ oraz jej podzbioru ${\displaystyle K}$ i funkcjonału ${\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{*}}$ z ${\displaystyle K}$ do przestrzeni dualnej ${\displaystyle E^{*}}$ do przestrzeni ${\displaystyle E,}$ nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej ${\displaystyle x}$ przebiegającej zbiór ${\displaystyle K}$ następującej nierówności:

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geqslant 0\qquad \forall _{y\in {\boldsymbol {K}}}}$

gdzie ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :{\boldsymbol {E}}^{*}\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$ jest dualnością wyrażającą się wzorem ${\displaystyle \langle x,x^{*}\rangle =x^{*}(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in E,x^{*}\in E^{*}.}$

Przykłady

Minimum funkcji na przedziale

Niech ${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie ${\displaystyle I=[a;b]\subset \mathbb {R} .}$ Jeśli chcemy znaleźć punkt ${\displaystyle x_{0}\in I,}$ w którym

${\displaystyle f(x_{0})=\min _{x\in I}f(x).}$

Możliwe są wtedy trzy przypadki:

• ${\displaystyle a<x_{0}<b}$ i wtedy ${\displaystyle f'(x_{0})=0,}$
• ${\displaystyle x_{0}=a}$ i wtedy ${\displaystyle f'(x_{0})\geqslant 0,}$
• ${\displaystyle x_{0}=b}$ i wtedy ${\displaystyle f'(x_{0})\leqslant 0.}$

Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej^[2]:

${\displaystyle f'(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in I}.}$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.

Minimum funkcji na zbiorze wypukłym

Niech ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {Z} _{+}.}$ Ponadto niech ${\displaystyle x_{0}\in K}$ będzie takim punktem, że

${\displaystyle f(x_{0})=\min _{x\in K}f(x).}$

Ponieważ zbiór ${\displaystyle K}$ jest wypukły, więc odcinek

${\displaystyle \{(1-t)x_{0}+tx:0\leqslant t\leqslant 1\}}$

leży w zbiorze ${\displaystyle K}$ i można rozpatrzeć funkcję

${\displaystyle \Phi (t)=f(x_{0}+t(x-x_{0})),}$ gdzie ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1.}$

Osiąga ona minimum dla ${\displaystyle t=0}$ i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że

${\displaystyle \Phi '(t)=\operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}}$

Zatem punkt ${\displaystyle x_{0}\in K}$ spełnia nierówność^[3]:

${\displaystyle \operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}.}$

Jeśli zbiór ${\displaystyle K}$ jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru ${\displaystyle K.}$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.

Badanie membrany

Niech ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}}$ będzie obszarem o brzegu ${\displaystyle \partial \Omega }$ i niech ${\displaystyle \psi \colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega ,}$ będzie taką funkcją, że

${\displaystyle \operatorname {\max } _{\Omega }\psi \geqslant 0}$ i ${\displaystyle \psi \leqslant 0}$

na ${\displaystyle \partial \Omega .}$

Niech

${\displaystyle K=\{\upsilon \in {\mathcal {C}}^{1}({\overline {\Omega }}):\upsilon \geqslant \psi {\text{ na }}\Omega {\text{ i }}\upsilon =0{\text{ na }}\partial \Omega \}}$

Zbiór ${\displaystyle K}$ jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji ${\displaystyle \psi }$ jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję ${\displaystyle u\in K,}$ dla której

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u|^{2}dx=\min _{\upsilon \in K}\int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} \upsilon |^{2}dx.}$

Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u\operatorname {grad} (\upsilon -u)dx}$

dla każdego ${\displaystyle \upsilon \in K.}$

Przypisy