Lemat Łuzina

Lemat Łuzina – twierdzenie mówiące, że każda probabilistyczna miara borelowska na przestrzeni polskiej jest wewnętrznie regularna (tj. jest miarą Radona). Twierdzenie udowodnione zostało przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina.

Dowód

Niech (Ω, d) będzie przestrzenią polską, a μ oznacza miarę probabilistyczną na Ω. Niech ciąg (an) będzie gęsty w Ω, a ponadto ε > 0. Dla dowolnie wybranych liczb naturalnych n, k niech dane będą zbiory

B n , k = { x ∈ Ω : d ( x , a n ) ⩽ 1 k } . {\displaystyle B_{n,k}={\Big \{}x\in \Omega \colon d(x,a_{n})\leqslant {\tfrac {1}{k}}{\Big \}}.}

Wówczas

Ω = ⋃ n = 1 ∞ ⋃ k = 1 ∞ B n , k . {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n,k}.}

Dla każdego k istnieje zatem taka liczba naturalna n(k), że

μ ( ⋃ n = 1 n ( k ) B n , k ) > 1 − ε 2 k . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}\right)>1-{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}

Niech

K = ⋂ k = 1 ∞ ⋃ n = 1 n ( k ) B n , k . {\displaystyle K=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}.}

Zbiór K jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc z zupełności Ω jest to zbiór zwarty. Ponadto

μ ( Ω ∖ K ) ⩽ ∑ k = 1 ∞ μ ( Ω ∖ ⋃ n = 1 n ( k ) B n , k ) ⩽ ∑ k = 1 ∞ ε 2 k = ε . {\displaystyle \mu {\big (}\Omega \setminus K{\big )}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }\mu \left(\Omega \setminus \bigcup _{n=1}^{n(k)}B_{n,k}\right)\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}

Dowodzi to wewnętrznej regularności miary μ.

Bibliografia

  • G. Blower, Random Matrices: High Dimensional Phenomena, ser. London Mathematical Society Lecture Notes. Cambridge, U.K., Cambridge Univ. Press, 2009, ss. 17-18.
  • Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.