Czas własny

Czas własny – czas ${\displaystyle \tau }$ wskazywany przez zegar poruszający się wraz z ciałem. Czas własny pomnożony przez prędkość światła jest równy długości linii świata ciała pomiędzy zdarzeniem włączenia zegara a jakimś zdarzeniem późniejszym. Linia świata jest krzywą, jaką kreśli w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni poruszające się ciało. Ponieważ długość krzywej mierzona między dowolnymi punktami w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza (dokładniej: jest wielkością geometryczną czasoprzestrzeni generowanej przez grupę przekształceń Lorentza), to i czas własny jest niezmiennikiem.

(Dokładniej: grupa transformacji Lorentza generuje geometrię 4-wymiarową – wg ujęcia geometrii przez program erlangeński Kleina).

Pojęcie czasu własnego wprowadza szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

Związek między czasem własnym ${\displaystyle \tau }$ a czasem ${\displaystyle t}$

Jeżeli cząstka porusza się ruchem dowolnie zmiennym, to upływ czasu własnego ${\displaystyle \tau }$ będzie różnił się od upływu czasu ${\displaystyle t,}$ jaki zostanie zmierzony zegarami w układzie spoczynkowym, oddzielającym dwa zdarzenia ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ na linii świata cząstki (patrz rysunek).

Znajdziemy związek między tymi czasami.

Opis ruchu w układzie spoczynkowym

Niech cząstka porusza się w czasoprzestrzeni po trajektorii, którą w układzie nieruchomym opisuje wektor styczny

${\displaystyle x^{0}=x^{0}(t),\ x^{1}=x^{1}(t),\ x^{2}=x^{2}(t),\ x^{3}=x^{3}(t).}$

Dwu punktom krzywej

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x^{0}(t),x^{1}(t),x^{2}(t),x^{3}(t)]}$

oraz

${\displaystyle \mathbf {x} (t+dt)=\mathbf {x} (t)+d\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} (t)+[dx^{0}(t),dx^{1}(t),dx^{2}(t),dx^{3}(t)]}$

związanym z upływem czasu ${\displaystyle dt}$ odpowiada różniczkowe przemieszczenie się cząstki w czasoprzestrzeni ${\displaystyle ds}$(zwane interwałem czasoprzestrzennym), takie że

${\displaystyle ds^{2}\equiv |d\mathbf {x} |^{2}=c^{2}dt^{2}-dx(t)^{2}-dy(t)^{2}-dz(t)^{2}.}$

Opis ruchu w układzie poruszającym się

W szczególnej teorii względności postuluje się, że interwał jest niezmiennikiem, tj. jest wielkością geometryczną, a więc niezależną od tego w jakim układzie współrzędnych się ją wyraża. Dlatego w układzie poruszającym się interwał ten jest taki sam; wyraża go wzór

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}),}$

przy czym ${\displaystyle d\tau }$ – upływ czasu w układzie poruszającym się, oraz

${\displaystyle dx'=dy'=dz'=0,}$

gdyż cząstka spoczywa w swoim układzie. Stąd dostaniemy

${\displaystyle ds=c\,d\tau .}$

Ostatni wzór oznacza, że:

Różniczkowy upływ czasu własnego ${\displaystyle d\tau }$ danego ciała mnożony przez prędkość światła jest równy długości różniczkowej ${\displaystyle ds}$ linii świata tego ciała, kreślonej w czasoprzestrzeni.

Tym samym różniczka

${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}}$

jest również niezmiennikiem relatywistycznym podobnie jak interwał ${\displaystyle ds.}$

Związek między różniczkami czasu ${\displaystyle d\tau }$ a ${\displaystyle dt}$

Podstawiając do wzoru ${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}}$ wyrażenie na interwał ${\displaystyle ds}$ wyrażony przez współrzędne w układzie spoczywającym

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {c^{2}dt^{2}-(dx(t)^{2}+dy(t)^{2}+dz(t)^{2})}}}$

otrzymamy

${\displaystyle d\tau ={\frac {\sqrt {c^{2}{\text{d}}t^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}{c}}.}$

Wyciągając ${\displaystyle cdt}$ przed nawias otrzymamy:

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt,}$

czyli

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt.}$

Ponieważ prędkość ciała jest zawsze mniejsza niż ${\displaystyle c,}$ to z powyższego wzoru wynika, iż:

Różniczkowy upływ czasu własnego ${\displaystyle d\tau }$ mierzony zegarem poruszającym się z ciałem podczas infinitezymalnego przemieszczenia się ciała w czasoprzestrzeni ${\displaystyle ds}$ jest zawsze mniejszy niż różniczkowy upływ czasu ${\displaystyle dt}$ mierzony w układzie spoczywającym, rejestrującym to przemieszczenie się ciała.

Związek między czasem ${\displaystyle \tau }$ a ${\displaystyle t}$

Całkowity czas własny, jaki upłynął pomiędzy zdarzeniami ${\displaystyle E_{1}}$ i ${\displaystyle E_{2}}$ obliczy się jako całkę

${\displaystyle \tau =\int d\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt,}$

gdzie ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ – wskazania zegarów spoczywających, gdy zaszły zdarzenia ${\displaystyle E_{1}}$ i ${\displaystyle E_{2}.}$

Ostatecznie mamy wyrażenie na związek między upływem czasu ${\displaystyle \tau }$ w układzie poruszającym się:

${\displaystyle \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma (t)}},}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma (t)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}}}$ – czynnik Lorentza zależny od chwilowej prędkości układu poruszającego się.

Ponieważ ${\displaystyle 1/\gamma (t)}$ jest zawsze mniejsze lub równe jedności, to:

Czas własny, upływający między dwoma zdarzeniami na linii świata danego ciała, jest zawsze mniejszy niż czas upływający między tymi dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie spoczywającym.

Gdy prędkość ciała poruszającego się jest stała, to ${\displaystyle \gamma =const}$ i otrzymamy prosty wzór na dylatację czasu w przypadku ruchu jednostajnego:

${\displaystyle \tau ={\frac {t}{\gamma }}.}$

Czas własny w ogólnej teorii względności

Czas własny w ogólnej teorii względności definiuje się następująco: niech dana będzie rozmaitość pseudoriemannowska w której zdefiniowano lokalny układ współrzędnych krzywoliniowych ${\displaystyle x^{\alpha },}$ wyposażona w tensor metryczny ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha }).}$ Cząstka porusza się po krzywej danej równanie parametrycznym ${\displaystyle x^{\alpha }(\lambda ).}$ Zależność czasu własnego ${\displaystyle \tau }$ między włączeniem zegara własnego cząstki, a dowolnym zdarzeniami późniejszym wzdłuż linii świata ${\displaystyle P}$ cząstki określa interwał

${\displaystyle \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }(\lambda )\;dx^{\nu }(\lambda )}}.}$

Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na zmianę układu współrzędnych. W płaskiej czasoprzestrzeni wyrażenie to redukuje się do wzoru podanego wyżej.

W układzie cząstki mamy 4-wektory położeń cząstki w chwilach ${\displaystyle \tau }$ oraz ${\displaystyle \tau +d\tau }$ odpowiednio ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )=[x'^{0}(\tau ),0,0,0]}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau +d\tau )=\mathbf {x} (\tau )+[dx'^{0}(\tau ),0,0,0].}$

Stąd otrzymamy

${\displaystyle \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}(\mathbf {x} )}}dx'^{0}.}$

Wyrażenie to uogólnia wcześniej podany wzór na związek między czasem własnym a różniczką współrzędnej czasowej ${\displaystyle dx'^{0}}$ w układzie poruszającym się.

Zobacz też

• czasoprzestrzeń Minkowskiego
• czterowektor
• interwał czasoprzestrzenny
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• wektor styczny
• zdarzenie czasoprzestrzenne

Bibliografia

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola, Warszawa: PWN, 2009.