Binegacja

Bramka NOR – jeden z funktorów zdaniowych rachunku zdań; dwuargumentowa funkcja boolowska (funktor logiczny) realizująca zaprzeczoną sumę logiczną (NOT OR) – jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są fałszywe^[1]. Odpowiada wyrażeniu „ani … ani…”. Jego znaczenie przedstawia poniższa tablica prawdy:

Sposoby zapisu bramki NOR

• ${\displaystyle A\downarrow B}$ – spójnik Sheffera^[2], przedstawiana za pomocą symbolu ↓ (pionowa kreska „|” przechodząca przez symbol alternatywy „${\displaystyle \lor }$” dwóch argumentów, co oznacza jej logiczną negację)
• A NOR B
• A ⊽ B – z użyciem symbolu ⊽ (U+22BD)
• ${\displaystyle {\overline {A\lor B}}}$ – gdzie symbol ${\displaystyle \lor }$ oznacza alternatywę (OR) natomiast kreska negację wyrażenia znajdującego się pod nią
• ${\displaystyle \neg (A\lor B)}$ – jak wyżej z użyciem symbolu negacji ¬
• ${\displaystyle {\overline {A+B}}}$ – zanegowana suma logiczna

Wyrażanie funkcji boolowskiej w logice NOR

Jako że w bramki logiczne NAND i NOR są tańsze w produkcji niż AND i OR, a ponadto zapewniają stałość amplitudy sygnału wyjściowego, w faktycznych układach cyfrowych są one stosowane częściej niż „zwykłe” AND i OR.

Korzystając z praw de Morgana, możemy każdą funkcję boolowską przekształcić tak, aby korzystała tylko z bramek NOR.

Negacja (NOT)

Korzystając z jednego z aksjomatów algebry Boole’a:

${\displaystyle a+a=a}$

Zapisać możemy równoważnie, że

${\displaystyle Q={\overline {A+A}}={\overline {A}}}$

Co jest negacją zmiennej wejściowej.

Koniunkcja (AND)

Skorzystamy tutaj z drugiego prawa de Morgana, które w ujęciu algebry Boole’a przyjmuje postać:

${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}\cdot {\overline {b}}}$

Tak więc podając na wejście bramki NOR zanegowane zmienne wejściowe otrzymujemy koniunkcję tych zmiennych, co wyraża poniższe równanie:

${\displaystyle Q={\overline {{\overline {A}}+{\overline {B}}}}={\overline {\overline {A}}}\cdot {\overline {\overline {B}}}=A\cdot B}$

Alternatywa (OR)

W przypadku alternatywy jedynym wyjściem jest zanegowanie wyjścia bramki NOR, jako że podwójna negacja zmiennej daje tę samą zmienną.

${\displaystyle Q={\overline {\overline {A+B}}}=A+B}$

Alternatywa wykluczająca (XOR)

Układ realizujący funkcję XOR z bramek NOR budujemy w oparciu o wyjściowe równanie funkcji XOR wykorzystując przekształcenia pokazane wyżej.

${\displaystyle Q=A\oplus B={\overline {A}}\cdot B+A\cdot {\overline {B}}=(A+B)\cdot ({\overline {A}}+{\overline {B}})={\overline {{\overline {A+B}}+{\overline {{\overline {A}}+{\overline {B}}}}}}}$

Zobacz też

Zobacz hasło NOR w Wikisłowniku

• algebra Boole’a
• dysjunkcja (NAND)
• implikacja
• negacja
• prawa rachunku zdań
• rachunek zdań
• równoważność

Przypisy