超弾性(ちょうだんせい、Hyperelasticity)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数(単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル)を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十%~数百%の大ひずみ状態を想定している。
構成則
弾性とは、ある位置
の応力がそこの変形勾配
で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力
を用いると、
![{\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4303a4a67e473d81f0d93b572a4f8d4f99f8fa)
と書ける。
特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期
における状態と
における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数
が得られる。
![{\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf4f8dfc0d9e86d8eaa0fad48c65ba1bea305c8)
![{\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f090389a029cba3b71e2375872561315f681d1)
と考えると、
は
![{\displaystyle {\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a125516528bc20bac86d8e5d38d320a510fdd25d)
と書ける。 これを:
と比較すると、
は
![{\displaystyle P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29f8c0745beec2e2000878024eb124b17f01266)
と書ける。結局、
![{\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44263c20f4b71bc5ce61420cce0016b5c9cc59b)
と表される。ここで、
より、
を
の関数として表す。
![{\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6a31ca151bc78dddaf559904f00a281a7eec5b)
より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力
について同様の式展開を行うと、
![{\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d45c468cdd2ad83e1a106a57be80f3ec218f6c)
![{\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e235773a32bc97ab796200a79d83a00b532fea)
となる。
非圧縮性を有する場合
まず、
で表記した
の式を次のように変形する。
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}\right):{\dot {\boldsymbol {C}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b09eece4f5b93f8271051544b917208671a331a)
非圧縮性を有することから、
を
に代入して、
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc5c90e0988d6a3e5ab59dacb9013ae08cb3fa0)
を得る。二つの式を比較して、
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\gamma {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096c1f2fcc675d5e40f5e270471d0a2753199cd7)
を得る。今、
は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は
のままの方が便利なので、
を代入していない。変形すると、
![{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}+\gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316e86a6ea69d53b01e6eb0e81269e63db9dd9c2)
ここで、
と定義すると、
![{\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}+\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8a4e272140bb183f380fd65103e0cf87eb5021)
上の結果から、
と
は
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a5a424f5b2c9702ae164723b71c72274e3dc4)
のときにのみ一致する。これは、
となるときに成立する。ここで、
によって新たな関数
を定義する。
を用いると、
となることが次のように示される。
![{\displaystyle {\hat {\Phi }}(\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi [(\mathrm {det} \,\alpha {\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\alpha ^{3}\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}]={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b8c0c8eab8f2873d6775077ca880e898938e08)
ここで、
を用いた。
非圧縮性の場合、
を
で代替できるため、
の式は次のように表される。
![{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+pJ{\boldsymbol {C}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb317f426be62a9adeac3595dc9609260514e8c)
偏差成分
は、
![{\displaystyle {\boldsymbol {S}}'=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00630bf7e75fe48536dfc255515e0477e7a53e21)
である。通常は、
と
は等しくないが、非圧縮性を有する場合、
より成立する。
参考文献
- 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2。
- 社団法人 土木学会 応用力学委員会 編:いまさら聞けない計算力学の常識,丸善,2008.
- Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press
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