条件付期待値

確率論において、確率変数の条件付き期待値（じょうけんつききたいち、英: conditional expectation）とは初等的には何らかの情報が与えられた場合の確率変数に期待される値のことである。しかし、より一般の場合の定義では、確率変数の条件付き期待値は新しい確率変数であり、元の確率変数より強い可測性をもつ。このことは新しい確率変数を決定するのに必要な情報が減少したということなので、情報を減らしたときに確率変数がどうなるかを計算したものとみることもできる。この方法で情報を最小のものにすると、条件付き期待値は定数になり期待値と一致する。初等的な定義では、この最小の情報に情報を追加したときの挙動を見ているといってもよい。

初等的な定義

初等的な定義では条件付き期待値は条件付き確率による期待値である。P(A) > 0 をみたす事象 A が起きたことが分かったときに、事象 B が起きる条件付き確率は

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A):={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (A)}}}$

で定義され、事象 A が起きたことが分かったときの確率変数 X の条件付き期待値は

${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid A]:=\operatorname {E} ^{\operatorname {P} (\cdot \mid A)}[X]={\frac {\operatorname {E} [X,A]}{\operatorname {P} (A)}}}$

で与えられる。

初等的な場合の例

大小二つのサイコロを投げて大きいほうのサイコロの目を X、小さいほうのサイコロの目を Y としよう。条件付き期待値を計算したい確率変数を2つのサイコロの目の積 XY とし、Y = 3 という情報が分かっているとする。 このとき、ありうる可能性は (X, Y) = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)} の6通りであり、それぞれ確率 1/6 なので

${\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y=3]=1\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}+\cdots +6\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {21}{2}}}$

となる。同様に Y = y が分かっているとすると

${\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y=y]={\frac {21y}{6}}}$

というのが分かるが、これを

${\displaystyle \operatorname {E} [XY\mid Y]={\frac {21Y}{6}}}$

と書くと、「Y の値が決まったときの XY の期待値は 21 Y / 6 である。」と自然に読むことができる。このようなことは一般の確率変数の組 X と Y が与えられた場合にもいえることで、関数 f をうまく見つけてきて

${\displaystyle E[X\mid Y]=f(Y)}$

とすることができる。

一般の場合

初等的な場合の例でサイコロを投げるかわりに、X と Y が平均 2、分散 1 の正規分布に従う場合を考えてみると、

${\displaystyle E[XY\mid Y]=2Y}$

とするのがよさそうだが、正規分布は連続確率分布なので、Y = y となる確率は 0 である。よって、初等的な定義を使うことはできない。そこで、一般の場合は条件付き期待値として満たすべき条件を定めて、それを満たす唯一の確率変数を条件付き期待値として定義する。

条件付き確率密度関数を使い、f_Y(y) > 0 ならば、以下のように計算できる。f_Y(y) は Y の確率密度関数である。

${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y=y]=\int _{\mathcal {X}}xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

さらに、一般の場合は情報を事象でも確率変数の値でもなく、完全加法族で与える。

定義

確率空間 (Ω, F, P) 上の可積分確率変数 X と σ集合体 G ⊂ F が与えられたとき、確率変数 Y が X の G に関する条件付き期待値であるとは

• Y は G 可測な可積分確率変数
• 任意の G 可測な事象 A に対して、E[X, A] = E[Y, A]

が成り立つことである。このような Y は零集合を除いて唯一に定まるので、E[X | G] と書く。

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 ルベーグの優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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