拡散数(かくさんすう、英: diffusion number)とは、陽解法を用いた拡散方程式の数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数d は次式で定義される。
![{\displaystyle d=k{\dfrac {\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b47bee7f3bb5a9b512052847a1fe3cf81c364bc)
ここで
- k :拡散係数
- Δt :解析における時間間隔
- Δx :空間方向の間隔
である。
導出
1次元の拡散方程式:
![{\displaystyle {\dfrac {\partial {u}}{\partial t}}=k{\dfrac {\partial ^{2}{u}}{\partial {x}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15369455dba15bc80045bbde1376f5cd87d9a6ce)
ここで
を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。
![{\displaystyle {\dfrac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=k{\dfrac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877932d2799ec01be1013275edb939b96416b0d0)
この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量uin +1 を
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+d(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f89a0a08ac9064b3fa25ebc0bfa08658e2ee7b0)
と表すことができる。
拡散数による安定性の評価
拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには
![{\displaystyle d\leq {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0cf07104c1f014b9551444cc03f163fd0c3ca9)
である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。
![{\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2}}{\dfrac {(\Delta x)^{2}}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beca8b3eeef14956560d6718140037085808892c)
つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。
参考文献
- 竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎『計算力学』森北出版、2003年9月。ISBN 4-627-91801-1。
- 藤井孝蔵『流体力学の数値計算法』東京大学出版会、1994年4月。ISBN 9784130628020。
関連項目