基底関数

基底関数（きていかんすう、英: basis function）とは、関数空間の基底ベクトルのことである。すなわち対象となる空間に属する全ての元（関数）は、この基底関数の線型結合で表される。

線形基底展開（英: linear basis expansion）とは、 h m ( X ) {\displaystyle h_{m}(X)} を基底関数として、下記の形で展開する事。

f ( X ) = ∑ m β m h m ( X ) {\displaystyle f(X)=\sum _{m}\beta _{m}h_{m}(X)}

例えば、実数値関数のフーリエ変換（コサイン変換・サイン変換）ではコサイン関数もしくはサイン関数、ウェーブレット変換ではウェーブレット関数とスケーリング関数、スプライン曲線では区分的多項式が基底関数として用いられる。

内積と正規直交基底

基底関数同士の内積を定義する事で、正規直交系（正規直交基底）かどうか規定できる。異なる基底関数の内積が常に 0 であれば直交とよび、同じ基底関数の内積が常に 1 なら正規と呼ぶ。

例えば、ウェーブレット変換では以下のように L2(R) における内積を定義する。

⟨ f , g ⟩ = ∫ R f ( t ) g ( t ) ¯ d t {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(t){\overline {g(t)}}dt}

関連項目

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