二重交換団

数学の代数学の分野において、ある（多元環や群のような）半群の部分集合 S の二重可換子環（にじゅうかかんしかん、英: bicommutant）とは、その部分集合の可換子環の可換子環のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、${\displaystyle S^{\prime \prime }}$ と表記される。

二重可換子環は、作用素環の代数的構造と解析的構造 とを関連付けるフォン・ノイマンの二重可換子環定理（英語版）の存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、M をあるヒルベルト空間 H に対するC*-環 B(H) 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、M の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、B(H) のある単位的なC*-部分環 M がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、${\displaystyle M=M^{\prime \prime }}$ であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が ${\displaystyle M^{\prime \prime }}$ を生成する。

S の二重可換子環は常に S を含む。したがって ${\displaystyle S^{\prime \prime \prime }=(S^{\prime \prime })^{\prime }\subseteq S^{\prime }}$ が成立する。一方、${\displaystyle S^{\prime }\subseteq (S^{\prime })^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }}$ も成立する。したがって ${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }}$ が成り立ち、S の二重可換子環の可換子環は、S の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。

${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\ldots =S^{2n-1}=\ldots }$

および

${\displaystyle S\subseteq S^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\ldots =S^{2n}=\ldots }$

ただし n > 1 とする。

S₁ および S₂ をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。

${\displaystyle (S_{1}\cup S_{2})'=S_{1}'\cap S_{2}'.}$

また ${\displaystyle S_{1}=S_{1}''\,}$ および ${\displaystyle S_{2}=S_{2}''\,}$ を仮定すると（これは例えばフォン・ノイマン環に対して成り立つ）、上の等式より次式が得られる。

${\displaystyle (S_{1}'\cup S_{2}')''=(S_{1}''\cap S_{2}'')'=(S_{1}\cap S_{2})'.}$

関連項目

• フォン・ノイマンの二重可換子環定理（英語版）