正二十六角形 二十六角形(にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon)は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。
正二十六角形
正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {26}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{26}}\simeq 53.53232a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6d27c850387a899e40179978a7f0e483cdfa60)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}=\cos {\frac {\pi }{13}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot \cos {\frac {2\pi }{13}}}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)}}=0.970941...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65f719549d0a73d8f980927d7a7379080298b87)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\&\beta =2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}={\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d18846ef22aba1ee6f98242ba5c0d5701146a21)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{26}}=-1\\&2\cos {\frac {2\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=\beta -2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00bab8b15a60c7bda6d2dba56e160fe2e888dd3)
解と係数の関係より
![{\displaystyle x^{3}-\alpha x^{2}-x-(\beta -2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886127e95a2d699291e6bb521be77cf16eddc511)
変数変換
![{\displaystyle x=y+\alpha /3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d56037c8469385246765c69a579ea3ce605f9c)
整理すると
![{\displaystyle y^{3}-{\frac {13+{\sqrt {13}}}{6}}y+{\frac {26+5{\sqrt {13}}}{27}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338e12995f2299844bd828665b9b9866f8405a5a)
三角関数、逆三角関数を用いて解は
![{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a18fd2cc75c463a72d8ee224d29123a870b361)
平方根、立方根を用いて
![{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a1948be465b7bf534b739d904e1df2bf8b9c20)
![{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26480f81f0e4180b810eef5aa716483f08cc4008)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05c8ea7677898e99fccf7364f262cff191e99a0)
正二十六角形の作図
正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正二十六角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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